Basis zu Unterräumen finden..

13.12.2011, 18:07

misaki

Basis zu Unterräumen finden..

Hallo! Ich habe einige Probleme mit den momentanen Übungen und zwar gibt es gleich mehrere Aufgaben bei denen ich eine Basis zu Unterräumen finden soll, nur weiß ich gar nicht, wie ich da überhaupt ansetzen soll. Ich weiß grundsätzlich was eine Basis ist, aber wie ich einfach eine aus der Luft greifen soll ist mir suspekt.

1. W1 und W2 sind Teilmengen der Menge V aller 2x2 Matrizen. Ich soll zunächst zeigen, dass sie Unterräume von V sind, womit ich eigentlich nie Probleme hatte und dann die Dimension von W1, W2, W1+Ws und W1 durchschnitt W2 finden. Die Dimension ist ja die Anzahl der Elemente einer Basis, also hab ich mir gedacht dass ich wohl auch hier am besten eine Basis finde. Aber wie?

$\begin{eqnarray*} W1 = \left\{ \begin{pmatrix} x & -x \\ y & z \end{pmatrix} | x,y,z \in K \right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} W2 = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -a & c \end{pmatrix} | a,b,c \in K \right\} \end{eqnarray*}$

2. In R3 ist die Teilmenge $\begin{eqnarray*} U = \left\{ (x1, x2, x3)^{T} | x1 - 2x2 + 3x3 = 0 \right\} \end{eqnarray*}$ . Auch hier soll ich zunächst zeigen, dass es ein Unterraum ist (kein Problem) und dann aber eine Basis finden. Aber wie gehe ich hier vor?!!

3. M1 und M2 sind Teilmengen des Vektorraums C(R) aller stetigen Funktionen R --> R. Hier soll ich wieder eine Basis finden.
$\begin{eqnarray*} M1 = \left\{ 1, e^{ax} , e^{bx} | a \neq b\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M2 = \left\{ 1, \cos(2x), \sin(x)^{2} \right\} \end{eqnarray*}$

Kann mir irgendjemand einen wertvollen Tipp geben?

13.12.2011, 19:31

Mulder

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RE: Basis zu Unterräumen finden..
Du könntest bei 1) zum Beispiel versuchen,

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x & -x \\ y & z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so auseinander zu ziehen, dass du sie als Summe von maximal vielen linear unabhängigen Matrizen darstellst. Quasi als eine Linearkombination. Die Einträge x,y und z können dir dabei als die Koeffizienten dienen. Ich meine das zum Beispiel so:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = a \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann steht eine Basis eigentlich schon sofort da. Genau so bei W2. In Aufgabe 2 könnte man ähnlich vorgehen, die Bedingung kannst du erstmal benutzen, um x1 durch x2 und x3 auszudrücken.

13.12.2011, 20:29

misaki

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RE: Basis zu Unterräumen finden..
oh danke Big Laugh

hab ich dann bei

W1 die Basis
$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ ?

bei Ws dann
$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ ?

und für 2)
$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ ?

13.12.2011, 20:34

Mulder

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RE: Basis zu Unterräumen finden..
1) ist okay.

Zitat:

Original von misaki
und für 2)
$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ ?

Bedenke:

$\begin{eqnarray*} x_1 = 2x_2 \color{red} - \color{black} 3x_3 \end{eqnarray*}$

13.12.2011, 20:36

misaki

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ah dann hab ich -3 oben stehen? Augenzwinkern

hab ich übersehen Big Laugh

14.12.2011, 13:40

misaki

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Soo ich hab mich heute dann noch einmal gespielt. Für 1. hab ich ja auch nie Basis zu W1 + W2 beziehungsweise W1 geschnitten mit W2 bzw eher die Dimension dazu finden müssen.

Bei W1 + W2 erhalte ich als Menge ja
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x+a & -x+b \\ y-a & c+z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
für a, b, c, x, y, z aus dem Körper K.
Nun habe ich als Basis folgende Menge gefunden

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

also die Dimension 5.

Für W1 geschnitten mit W2 erhalte ich folgende Menge:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x & -x \\ -x & y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
für x,y aus K.

Als Basis habe ich dann
$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ .

Also dimension 2.

Allerdings passt das nicht zu folgender Regel, die ich ebenfalls auf meinem Zettel habe und beweisen soll , nämlich dass die Dimension von (U1 + U2 ) = dim U1 + dim U2 - dim (U1 geschnitten mit U2) ist. Das wäre ja bei mir 3 + 3 - 2 = 4, nicht 5. Wo liegt der Fehler??

Und bei der 3. habe ich heute noch überlegt wie ich die Angabe denn interpretieren soll. Ist das eine Menge in der einfach drei verschiedene Funktionen liegen? Aber die bilden doch keinen Unterraum, oder? Wenn ich zum Beispiel das Element 1 herausgreife und eine Linearkombination bilde also x*1 + y *1 so ist das x+y und das liegt doch eindeutig nicht in der Menge. Oder?! Also ist das nicht einmal ein Unterraum??? Bin total verwirrt!

14.12.2011, 14:32

Mulder

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Zitat:

Original von misaki
Nun habe ich als Basis folgende Menge gefunden

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

also die Dimension 5.

Du glaubst nun also, fünf linear unabhängige Elemente des $\begin{eqnarray*} K^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ gefunden zu haben? Da sollten eigentlich doch gleich alle Alarmglocken losbimmeln. Augenzwinkern

Diese fünf Matrizen sind linear abhängig, da muss man auch gar nichts rechnen, das kann gar nicht anders sein.

Schau nochmal auf deine Matrix, die sich aus W1+W2 ergeben hat. Inwieweit stehen die einzelnen Komponenten der Matrix überhaupt noch im Zusammenhang?

Zitat:

Original von misaki
Und bei der 3. habe ich heute noch überlegt wie ich die Angabe denn interpretieren soll. Ist das eine Menge in der einfach drei verschiedene Funktionen liegen? Aber die bilden doch keinen Unterraum, oder?

Steht denn dabei, dass es ein Unterraum sein soll?

14.12.2011, 15:57

misaki

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Oh.. da hängt ja eigentlich gar nichts mehr zusammen weil ich ja alle Elemente wählen kann wie ich will. also hab ich einfach vier matrizen mit der 1 an einer Ecke und sonst 0 als Basis?

Und bei der einen Aufgabe steht bei mir "Bestimmen Sie jeweils eine Basis des Unterraums, der von der entsprechenden teilmenge erzeugt wird"

14.12.2011, 16:05

Mulder

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Zitat:

Original von misaki
Oh.. da hängt ja eigentlich gar nichts mehr zusammen weil ich ja alle Elemente wählen kann wie ich will. also hab ich einfach vier matrizen mit der 1 an einer Ecke und sonst 0 als Basis?

Ja, das wäre eine Möglichkeit. Also ist $\begin{eqnarray*} W_1+W_2 \end{eqnarray*}$ schon der ganze Raum $\begin{eqnarray*} K^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von misaki
Und bei der einen Aufgabe steht bei mir "Bestimmen Sie jeweils eine Basis des Unterraums, der von der entsprechenden teilmenge erzeugt wird"

Ah, so ist es gemeint. Tja, dann schau doch mal, ob die Elemente in M1 und M2 jeweils linear unabhängig sind. Bei M2 sollte man mal nach Additionstheoremen schauen, ob man etwas umschreiben kann. Bei sin und cos gibt's da ja eine ganze Fülle an Identitäten.

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