Lipschitz

11.01.2007, 18:21

Marion

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Lipschitz

AHllo zusammen,

ich hab ein großes Problem! Habe eine Aufgabe, die ich morgen abgeben muss, aber habe wirklich keine Ahnung was ich damit anfangen soll! Bitte dringend um Hilfe! Danke.

Also:

1) Zeigen Sie: Eine Lipschitz-stetige Funktion ist gleichmäßig stetig.
2) Sie E=E´= R^n, d(x,y)= euklidische Norm von x-y , d´(x-y)=Norm von x-y, wobei die Norm max von Betrag x_i entspricht. Zeigen Sie: Jede lineare Abbildung von E nach E´ist Lipschitz-stetig.
3) Ändert sich daran etwas, wenn man auf E´auch den euklidischen Abstand wählt ?

LG Marion

11.01.2007, 18:45

penizillin

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zu 1):
schau dir die definition beider stetigkeiten an, sie sind sehr ähnlich, aber die lipschitz-stetigkeit ist "strenger", kann also als "spezialfall" der glm. stetigkeit gesehen werden. fang so an: sei f lipschitz-stetig. d.h. es gibt ein L>0... und versuch auf die tatsache herauszukommen, dass f auch die bedingung für die glm. stetigkeit erfüllt (wähle $\begin{eqnarray*} L=\frac{\epsilon}{\delta} \end{eqnarray*}$ ).

11.01.2007, 19:05

Marion

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Hey,

danke erstmal! Aber ich kann damit nichts anfangen :-(

LG Marion

11.01.2007, 19:35

Ambrosius

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schreibe dir beide definitionen erstmal auf (d.h. die $\begin{eqnarray*} \varepsilon - \delta \end{eqnarray*}$ Def.)

du sollst die glm Stetigkeit beweisen, hast die lps stetigkeit also als vorraussetzung. du musst also zu bel. x,y ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ finden, so das die def. der glm. Stetigkeit erfüllt ist. wie du dieses delta zu wählen hast, wird schon von penizillin gesagt

11.01.2007, 20:20

Marion

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Hey,

ich habe das Problem sowas aufzuschreiben! ... ich weiß nicht wie! Könnt ihr mir das ausnahmeweise mal hinschreiben ? Bitte!

LG Marion

11.01.2007, 20:28

Dual Space

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Zitat:

Original von Marion
ich habe das Problem sowas aufzuschreiben!

Schau halt in deine Vorlesungsmitschriften (oder ähnliches). Dort sollte das drinstehen, sofern du sie gut führst.

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11.01.2007, 20:30

Marion

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Ich hab schon längst nachgeguckt! Aber wie soll ich den beweis aufschreiben ??? Steh dort aufm Schlauch :-(

LG Marion

11.01.2007, 20:30

Dr. Logik

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Hallo Marion!

Also die a) ist wirklich nicht so schwer. Schau dir mal die Aufgabenstellung auf deinem Aufgabenblatt genau an. Da hast du doch die Definition der Lipschitz-Stetigkeit direkt vor Augen.

Jetzt setzt du, wie penizillin es schon gesagt hat $\begin{eqnarray*} L= \frac{\epsilon}{\delta} \end{eqnarray*}$ und formst das ganze mit ganz einfachen Schritten so um, dass du die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit erhälst (die steht in unserer Mappe übrigens unter 12.8)

[edit] du musst dabei noch beachten, dass $\begin{eqnarray*} d(x-y)< \delta \end{eqnarray*}$ git.

Und schon hast du die a) fertig. (Bei den anderen komme ich allerdings auch nicht weiter.... vielleicht könnte jemand da uns jemand anderes noch weiterhelfen...)

Viele Grüße, Dr. Logik

11.01.2007, 20:47

Marion

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Hey,

ich hab das eingesetzt, aber kann damit nicht wirklich was anfangen, so dass ich weiter komme!

LG Marion

11.01.2007, 21:06

Dr. Logik

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Also gut!

Ich helfe dir:

Sei f eine lipschitz-stetige Funktion. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \le L|x-y| \end{eqnarray*}$ .

Jetzt verwende einmal, dass gilt

$\begin{eqnarray*} |x-y|< \delta \end{eqnarray*}$ .

und dann setzt du noch $\begin{eqnarray*} L= \frac{\epsilon}{\delta} \end{eqnarray*}$

und du hast:

aus $\begin{eqnarray*} |x-y|< \delta \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|< \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe, dass du jetzt weiterkommst. Wenn nicht, dann sag mir bitte, was genau du nicht verstehst.

Lg, Dr. Logik

11.01.2007, 21:27

Ambrosius

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besser: $\begin{eqnarray*} \delta := \frac{\varepsilon}{L+1} \end{eqnarray*}$

L+1 um L=0 im Nenner zuzulassen. Du musst ja das delta wählen, und nicht das L.

Falls ihr Lps.stetig für L ungleich 0 definiert habt, braucht auch kein L+1 zu sein

Nichts desto trotz (wie schreibt man das eigentlich ???) ist deines genauso richtig.

11.01.2007, 21:32

Marion

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Wie sieht denn die Rechnung aus ???

LG Marion

11.01.2007, 21:41

Ambrosius

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Das ist die Voraussetzung:

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \leq L|x-y| \end{eqnarray*}$ .

Auch das darfst du als Vorraussetzung benutzen:

$\begin{eqnarray*} |x-y|< \delta \end{eqnarray*}$ .

zu zeigen ist nun:

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|< \epsilon \end{eqnarray*}$ . für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \leq L |x-y| < L \delta \end{eqnarray*}$

Für alle beliebigen epsilon soll also ein delta existieren so das der ausdruck kleiner als epsilon wird. Dieses delta gibst du nun an:

$\begin{eqnarray*} \delta := \frac{\varepsilon}{L+1} \end{eqnarray*}$

Dann ist:

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \leq L |x-y| < L \delta < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Also ist die Fkt. gleichmäßig stetig.

Vielleicht nochmal als erklärung warum im Nenner L+1 gewählt ist:

Die Def. der lps.Stetigkeit sagt aus das die konstante L=0 sein kann. dann wäre das delta nicht definiert. mit dem L+1 umgehst du dieses Schlupfloch

11.01.2007, 21:49

Marion

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Ok danke, ich habs verstanden!

LG Marion

11.01.2007, 22:02

Dr. Logik

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Zitat:

Original von Ambrosius
besser: $\begin{eqnarray*} \delta := \frac{\varepsilon}{L+1} \end{eqnarray*}$

L+1 um L=0 im Nenner zuzulassen. Du musst ja das delta wählen, und nicht das L.

Falls ihr Lps.stetig für L ungleich 0 definiert habt, braucht auch kein L+1 zu sein

Nichts desto trotz (wie schreibt man das eigentlich ???) ist deines genauso richtig.

OK, danke (das mit dem $\begin{eqnarray*} L \ge 0 \end{eqnarray*}$ ist mir zwar aufgefallen, aber ich hatte es versucht einfach stillzuschweigen...) so ist es natürlich viel besser Big Laugh

Big Laugh

Ich glaube das heißt nichtsdestotrotz, aber bestimmt kann man das auch so wie du nach der neuen deutschen Schlechtschreibung schreiben (oder vielleicht konnte man das vorher auch schon oder vielleicht ist meine Version auch falsch... verwirrt

verwirrt

)

Kann mir denn jemand noch bei der b) oder c) helfen? (Da habe nämlich auch ich keine Ahnung wie das geht)

mfg, Dr. Logik

11.01.2007, 22:08

Ambrosius

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zunächst einmal brauchst du vernünftige Metriken:
die erste ist also $\begin{eqnarray*} d_E(x,y) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} |x_i| * |y_i|} \end{eqnarray*}$ und für E' lese ich aus dem ersten Post:

$\begin{eqnarray*} d_{E'}(x,y) = ||x-y|| = \max\limits_i {|x_i-y_i|} \end{eqnarray*}$

so korrekt? Also die scheinen ja in der aufgabe vorgegeben zu sein. aus dem ersten Post kann ich das aber nicht wirklich entziffern

11.01.2007, 22:15

Marion

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Genau ... und jetzt ?

LG Marion

11.01.2007, 22:35

Ambrosius

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Zitat:

Original von Ambrosius
zunächst einmal brauchst du vernünftige Metriken:
die erste ist also $\begin{eqnarray*} d_E(x,y) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} |x_i -y_i|^2} \end{eqnarray*}$ und für E' lese ich aus dem ersten Post:

$\begin{eqnarray*} d_{E'}(x,y) = ||x-y|| = \max\limits_i {|x_i-y_i|} \end{eqnarray*}$

so korrekt? Also die scheinen ja in der aufgabe vorgegeben zu sein. aus dem ersten Post kann ich das aber nicht wirklich entziffern

EDIt: erste Metrik geändert

11.01.2007, 22:39

Marion

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Ja ich hab jetzt auch nohcmal nachgeschaut! Ist richtig so!

LG

11.01.2007, 22:54

Ambrosius

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keine ansätze? schreib dir erstmal auf was du zeigen musst. wenns dann an einer stelle hapert poste sie hier

11.01.2007, 23:21

Marion

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Ach ich weiß nicht ... egal!

Lg Marion

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