Rein inseparable Polynome

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mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »
Rein inseparable Polynome
Hallo Leute!

Ich will zeigen, dass ein ein irreduzibles Polynom, über einem Körper K mit Charakteristik p>0, welches im algebraischen Abschluss von K nur eine Nullstelle hat, immer der Form ist. Den Beweis dazu im Bosch verstehe ich leider nicht ganz, daher frage ich hier.

Ich habe mir folgendes überlegt:

Ist die Nullstelle einfach, dann muss das Polynom den Grad 1 haben und n ist einfach 0 und c die Nullstelle. Der Fall ist also trivial. Ist die Nullstelle aber mehrfach, dann weiß ich, dass die Ableitung des Polynoms verschwinden muss, da das Polynom dann nicht mehr separabel ist. Folglich muss der Exponent jeder Potenz von X durch p teilbar sein. Aber warum nun gerade ?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ein Polynom nur eine Nst hat , ist es von der Form
.
Und jetzt die zwei Bemerkungen auf die im Bosch verwiesen wird.
 
 
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von galoisseinbruder
Wenn ein Polynom nur eine Nst hat , ist es von der Form
.
Und jetzt die zwei Bemerkungen auf die im Bosch verwiesen wird.


Ist nun k eine Potenz von p, dann folgt sofort wegen dem Frobeniusautomorphismus, dass das ist. Hier wäre mein c also a^k. Aber wenn die Ableitung verschwinden soll, dann muss k ja nur Vielfaches von p sein und nicht zwingend Potenz.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

dann musst du dir nochmal 3.6. Satz2(ii) genau durchlesen:
Der besagt nämlich, dass irreduzible Polynome in diesem Fall in liegen
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Ja herzlichen Dank. Nun habe ich die Sache gut verstanden!
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

In einem endlichen Körper ist ja jede Erweiterung separabel. Heißt das, alle Polynome der Form zerfallen in bereits in Linearfaktoren, sofern ?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, c hat eine p^n-te Wurzel d in dem gleichen Körper. Dann ist
wegen in Körpern der Charakteristik p.
Dass es eine solche Wurzel gibt folgt daraus dass der Hom. surjektiv weil injektiv ist.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, die letzte Zeile von deinem Beitrag gefällt mir Wink
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Schon wieder ist mir die Notation durcheinandergeraten! Aber anscheinend war dir ja klar, was ich meinte^^
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von juffo-wup
Schon wieder ist mir die Notation durcheinandergeraten! Aber anscheinend war dir ja klar, was ich meinte^^


Ja, du meintest für einen Körper .
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Wobei allgemein für beliebiges n bei Charakteristik p immer ein Homomorphismus ist.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von juffo-wup
Ja. Wobei allgemein für beliebiges n bei Charakteristik p immer ein Homomorphismus ist.


Ja, jetzt habe ich gerade Quatsch geredet. Mein Homo war ja immer die Identität. Das wollte ich ja gar nicht. Die p^n-te-Wurzel muss ja nicht immer die Zahl selbst sein.
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