Rein inseparable Polynome |
14.12.2011, 23:25 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Rein inseparable Polynome Ich will zeigen, dass ein ein irreduzibles Polynom, über einem Körper K mit Charakteristik p>0, welches im algebraischen Abschluss von K nur eine Nullstelle hat, immer der Form ist. Den Beweis dazu im Bosch verstehe ich leider nicht ganz, daher frage ich hier. Ich habe mir folgendes überlegt: Ist die Nullstelle einfach, dann muss das Polynom den Grad 1 haben und n ist einfach 0 und c die Nullstelle. Der Fall ist also trivial. Ist die Nullstelle aber mehrfach, dann weiß ich, dass die Ableitung des Polynoms verschwinden muss, da das Polynom dann nicht mehr separabel ist. Folglich muss der Exponent jeder Potenz von X durch p teilbar sein. Aber warum nun gerade ? |
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14.12.2011, 23:52 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ein Polynom nur eine Nst hat , ist es von der Form . Und jetzt die zwei Bemerkungen auf die im Bosch verwiesen wird. |
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15.12.2011, 00:02 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist nun k eine Potenz von p, dann folgt sofort wegen dem Frobeniusautomorphismus, dass das ist. Hier wäre mein c also a^k. Aber wenn die Ableitung verschwinden soll, dann muss k ja nur Vielfaches von p sein und nicht zwingend Potenz. |
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15.12.2011, 00:23 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dann musst du dir nochmal 3.6. Satz2(ii) genau durchlesen: Der besagt nämlich, dass irreduzible Polynome in diesem Fall in liegen |
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16.12.2011, 12:55 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja herzlichen Dank. Nun habe ich die Sache gut verstanden! |
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05.02.2012, 18:07 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In einem endlichen Körper ist ja jede Erweiterung separabel. Heißt das, alle Polynome der Form zerfallen in bereits in Linearfaktoren, sofern ? |
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06.02.2012, 09:26 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, c hat eine p^n-te Wurzel d in dem gleichen Körper. Dann ist wegen in Körpern der Charakteristik p. Dass es eine solche Wurzel gibt folgt daraus dass der Hom. surjektiv weil injektiv ist. |
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06.02.2012, 19:15 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank, die letzte Zeile von deinem Beitrag gefällt mir |
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07.02.2012, 08:10 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schon wieder ist mir die Notation durcheinandergeraten! Aber anscheinend war dir ja klar, was ich meinte^^ |
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07.02.2012, 08:43 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, du meintest für einen Körper . |
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07.02.2012, 08:47 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. Wobei allgemein für beliebiges n bei Charakteristik p immer ein Homomorphismus ist. |
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07.02.2012, 09:01 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, jetzt habe ich gerade Quatsch geredet. Mein Homo war ja immer die Identität. Das wollte ich ja gar nicht. Die p^n-te-Wurzel muss ja nicht immer die Zahl selbst sein. |
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