Ableitungen, Tangentengleichung

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15.12.2011, 19:13	Kristy_x1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitungen, Tangentengleichung Meine Frage: Für jedes reele t ist die Funktion ft gegeben durch ft(x)=x^4-(2-t)x^3-2tx^2. gt ist die Tangente an das Schaubild Kt von ft in x=1. Zeigen Sie: Die Geraden gt verlaufen durch einen gemeinsamen Punkt. Meine Ideen: Bitte helft mir, ich hab wirklich keinen Plan davon!! (mit Lösungsweg, wenn es geht)
15.12.2011, 19:17	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Kristy! Also eine Komplettlösung wirst du nicht von uns bekommen, wie es auch HIER steht! Wir geben dir Hilfestellungen etc. Wie weit bist du denn schon? hast du schon die Tangentengleichung in x=1 bestimmt? Gruß Johnsen
15.12.2011, 19:30	kristina_x1993x	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab schon mal eine Ableitung von ft gebildet: f't(x) = 4x^3 - 6x^2 + 3tx^2 (stimmt die überhaupt????) P(1/0) Steigung in x=1 f'(1) = -2+3t im Buch steht man soll dann eine Punksteigungsform bilden, also y=m(x-x1)+y1, um die Tangente auszurechnen, aber warum nicht nur y=mx+b ??? wenn ich die oben genannte Punktsteigungsform nehme, wie sie im Buch steht, dann kommt bei mir raus: T = -2 + 3tx -3t stimmt das??? und wie soll ich weitermachen???
15.12.2011, 19:34	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Ableitung stimmt nicht ganz, weil du komischerweise -2tx^2 nicht abgeleitet hast!
15.12.2011, 19:40	kristina_x1993x	Auf diesen Beitrag antworten »
wäre das dann ft'(x) = 4x^3 - 6x^2 - 3tx^2 - 4t^2x ???
15.12.2011, 19:42	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
warum denn t²x?? da stand doch vorher auch kein t²!
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15.12.2011, 19:45	kristina_x1993x	Auf diesen Beitrag antworten »
ohh hoppla.. ist es dann 4tx ??
15.12.2011, 20:04	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
ja! Wie lautet nun also die Ableitung?
15.12.2011, 20:09	kristina_x1993x	Auf diesen Beitrag antworten »
ft(x) = 4x^3 - 6x^2 - 3tx^2 - 4tx P(1/0) Steigung in x=1 ft'(1) = -2 - t
15.12.2011, 20:12	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
ft(x) = 4x^3 - 6x^2 + 3tx^2 - 4tx Aber deine Steigung stimmt, vielleicht nur vertippt! Jetzt kannst du ja die Tangentengleichung ganz aufstellen, du hast die Steigung und einen Punkt! Gruß Johnsen
15.12.2011, 20:15	kristina_x1993x	Auf diesen Beitrag antworten »
dann habe ich ja T = -2 - t das ist ja dann meine Tangentengleichung, wenn ich sie in die Punktsteigungsform einsetze. Und was mache ich dann?
15.12.2011, 20:18	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, du hast ja garkein x in deiner Geradengleichung stehen?! Du nimmst deine Ableitung ft(x) = 4x^3 - 6x^2 + 3tx^2 - 4tx an der Stelle x=1, dann hast du die Steigung und setzt in die allgemeine Geradengleichung diese Steigung und den Punkt ein. Und beachte das andere Vorzeichen, du hattest da einen Fehler in deiner Ableitung! Gruß Johnsen
15.12.2011, 20:18	kristina_x1993x	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt muss ich doch eine zweite Tangentengleichung aufstellen.. aber wie???
15.12.2011, 20:24	kristina_x1993x	Auf diesen Beitrag antworten »
dann ist ja die Steigung ft'(1) = -2-t und wenn ich die dann in die Geradengleichung einsetzte kommt ebenfals gt=-2-t raus. Oder?
15.12.2011, 20:29	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Steigung stimmt. Aber schau mal, eine Geradengleichung sieht so aus: y=mx+b, da muss ja die Variable x auch irgendwo mit rein. Du berechnst jetzt f(1), damit du den Punkt komplett hast. Dann setzt du für den y-Wert den y-Wert dieses Punktes ein, für m deine brechnete Steigung für x den x-Wert des Punktes. Dann kannst du den y-Achsenabschnitt berechnen! Gruß Johnsen
15.12.2011, 20:36	kristina_x1993x	Auf diesen Beitrag antworten »
versteh ich jetzt grade nicht f(1) = -1-t y=mx+b -1-t = -2-t+b oder wie ????
15.12.2011, 20:48	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau! Lös nun nach b auf und du hast deine Tangentengleichung, wenn du das dann in y=(-2-t)x+b einsetzt! Gruß Johnsen
15.12.2011, 20:53	kristina_x1993x	Auf diesen Beitrag antworten »
woooooow dann ist gt1 = (-2-t)x +1 und jetzt?
15.12.2011, 21:03	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, seht gut, die Tangentengleichung stimmt! Jtzt wird behauptet, dass sie alle einen gemeinsamen Punkt haben, also nehmen wir doch mal zwei der unendlich vielen Tangenten heraus und setzen sie gleich, um den gemeinsamem Punkt auszurechnen. Gruß Johnsen
15.12.2011, 21:06	kristina_x1993x	Auf diesen Beitrag antworten »
soll ich mir jetzt für t Zahlen einsetzen? (-2-1)x+1 = (-2-2)+1 so?
15.12.2011, 21:07	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nimm einfach t und s, wobei natürlich t und s nicht gleich sein sollten, sonst ist es ja witzlos einen Schnittpunkt auszurechnen!
15.12.2011, 21:08	kristina_x1993x	Auf diesen Beitrag antworten »
oh, ich hab ein x vergessen ich meinte: (-2-1)x+1 = (-2-2)x+1
15.12.2011, 21:09	kristina_x1993x	Auf diesen Beitrag antworten »
hä? das versteh ich jetzt nicht ganz! kannst du mir bitte ein Beispiel geben?
15.12.2011, 21:12	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, es wäre kein Beweis, wenn du t=1 und t=2 einsetzt, denn es könnte sein, dass dies nur für genau diese beiden Werte gilt. Deswegen nimm einfach zwei verschiedene Werte s und t. Dann steht da: (-2-t)x+1 = (-2-s)x+1 jetzt kannst du weiterrechnen. Du willst ja nach x auflösen, um den Schnittpunkt herauszufinden!
15.12.2011, 21:19	kristina_x1993x	Auf diesen Beitrag antworten »
x = tx/s ???
15.12.2011, 21:27	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
naja es steht ja dann da: xs=xt oder umgeformt: xs-xt=0 Nun klammer x aus und dann schau, wenn denn die Gleichung erfüllt ist!
15.12.2011, 21:30	kristina_x1993x	Auf diesen Beitrag antworten »
x(s-t)=0 woher weiß ich jetzt, ob die Gleichung erfüllt ist?
15.12.2011, 21:32	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Wann ist denn ein Produkt 0?
15.12.2011, 21:35	kristina_x1993x	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn x=0 ist?
15.12.2011, 21:39	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau! Worauf ich eigentlich hinauswollte: x(s-t)=0 ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, also entweder x=0 oder s-t=0 bzw. s=t. Aber wir haben ja ausgeschlossen, dass s und t gleich sein sollen, sonst hätten wir keine verschiedenen Geraden! Also schneiden sich alle Tangenten im x-Wert 0 bzw. in welchem y-Wert? Wenn du den noch ausrechnest, dann hast du die Aufgane komplett gelöst!
15.12.2011, 21:43	kristina_x1993x	Auf diesen Beitrag antworten »
wie soll ich denn jetzt den y-wert ausrechnen? :o das ist mir jetzt zu hoch
15.12.2011, 21:52	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Du setzt in deine Gleichung der Tangenten x=0 ein ^^
15.12.2011, 21:56	kristina_x1993x	Auf diesen Beitrag antworten »
oh man bin ich doof.. ist dann y=0 und dadurch der Schnittpunkt der Tangententen S(0/0)?
15.12.2011, 22:04	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, es kommt nicht y=0 heraus! y=(-2-t)x+1 und nun x=0 einsetzen!
15.12.2011, 22:08	kristina_x1993x	Auf diesen Beitrag antworten »
aaachso in die Tangenten.. hab ich überlesen dann S(0/1)?
15.12.2011, 22:21	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja richtig! Hier nochmal die Kurven für verschiedene t-Werte von -2 bis 2. Man erkennt schön die Tangenten und ihren Schnittpunkt (0/1). Wenn man daraufklickt wirds schärfer! [attach]22381[/attach] Gruß Johnsen
15.12.2011, 22:24	kristina_x1993x	Auf diesen Beitrag antworten »
GESCHAFFT!!!! ich weiß gar nicht wie ich dir für deine Geduld danken soll!!!!! DAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAANKESCHÖÖÖN
15.12.2011, 22:25	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
gern geschehen!

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