Beweis einer abelschen Gruppe mit a*a = e

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Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis einer abelschen Gruppe mit a*a = e
Hallo nochmal :-)

Es gilt eine abelsche Gruppe zu beweisen und zwar haben wir eine Gruppe (G, °) und für jedes Element a G gilt x² = e (e ist neutrales Element)

z. z. ist nun, dass diese Gruppe abelsch ist.

Ich wollte einen Widerspruchsbeweis führen, und wollte benutzen das da ja schon ein zweiter Hinweis mit x² steht ich bin mir aber nciht sicher ob ich einfach nur auf die Multiplikation schließen kann, ich hätte folgendes gemacht:

Sei (G, °) nicht abelsch, dann existieren a,b G, sodass:

a*b b*a (multipliziere b von rechts):

a*b*b b*a*b (multipliziere a von links):

a*a*b*b a*b*a*b <=> a²*b² (a*b)² <=> e*e e <=> e e

und das ist ein Widerspruch, das heißt die Gruppe muss abelsch sein...

Geht das? Oder ist das völlig wieder jeder Logik?

Vielen Dank schonmal :-)
qwert zuiopü Auf diesen Beitrag antworten »

Passt doch.
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

(vorab, wie geht hier das Verknüpftzeichen?)

Naja es ist ja nur allgemein dieses "°" Zeichen gegeben, ich wusste nur nciht ob ich einfach nur mit so einer Multiplikation zeigen kann, dass das ein WIderspruch gibt...


Vielen Dank =)
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Mir scheint, dass der Widerspruchsbeweis selbst für die einfachsten Aussagen vor Allem bei Anfängern überaus verbreitet ist. Ich persönlich würde ihn jedoch immer vermeiden, wenn ich kann. Daher hier ein Vorschlag, wie man diese Aufgabe direkt angehen kann:
Augenzwinkern

Das Zeichen das du suchst, ist wohl ,
code:
1:
\circ
dabei ist es jedoch völlig unerheblich, wie die Verknüpfung auf der Gruppe konkret realisiert ist. Hautpsache wir haben eine assoziative Verknüpfung mit einem Einselement.
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss schon sagen, dein Beweis sieht schon fast zu leicht aus :-D

Es ist einfach irritierend, da einfach ein e reinzuschieben, das mit abab zu ersetzen und so weiter zu machen, bzw. genauer, dass das so einfach gehen kann, da kommt irgendwie nie einer drauf.

Also wenn man das e einfach in die Mitte multiplizieren kann (ich wüsste auch nciht wieso (ist ja nautral)) dann ist das ja offensichtlich.


Das mit dem Widerspruchsbeweis ist so, unser Dozent benutzt den allzu oft und uns wird dauernd geraten das so zu machen, da es oft einfacher zu sein scheint einen Widerspruch herbeizuführen als eine Allaussage bzw. eine Grundsatzaussage gradeaus zu beweisen. :-)

Vielen Dank für deinen Hinweis, sehr aufschlussreich, kommt mir aber immernoch sher kurz vor :-) Aber das macht es ja eigntlich umso "genialer"
zd4 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.

Wie kommt man denn darauf dass ?
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Vlt siehst du es, wenn du definierst und einsetzt.
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