Schnittmenge von Untergruppen

16.12.2011, 11:40	Delli20	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittmenge von Untergruppen Meine Frage: Hey ihr! Ich glaub' ich steh grad zeimlich auf dem Schlauch, aber ich komm' einfach nicht weiter. Vielleicht könnt ihr mir ja heilfen. Ich würde gerne U1\cap U2 berechnen. Folgene Untervektorräume sind vorgegeben: U1 := <(1,0,0,0), (2,1,0,0), (-1,1,2,1) > U2 := <(1,0,4,0) , (1,1,2,1) , (1,2,0,2) > Und von dieser Schnittmenge soll ich dann die Basis berechnen und sie zu einer Basis von U1 bzw U2 ergänzen! Meine Ideen: Danke für eure Hilfe!
17.12.2011, 10:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Titel sollte "Durchschnitt von Untervektorräumen" sein. Schreibe die Vektoren als Zeilen in eine Matrix und benutze den Gauß-Algorithmus. Das gibt dir die Dimension des Durchschnittsraums. Weil du intelligent bist, schreibst du dir auf, wie die Zeilenstufenform aus den gegebenen Vektoren entsteht, damit kannst du dir eine Basis des Durchschnittsraums bauen. Die Ergänzung sollte dann ein Kinderspiel sein.
17.12.2011, 17:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, ich lag knapp daneben. Der Gauß-Algorithmus gibt die Dimension von $\begin{eqnarray} U_1+U_2 \end{eqnarray}$ . Um den Durchschnitt zu berechnen löse das LGS $\begin{eqnarray} au+bv+cw=dx+ey+fz \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u,v,w\in U_1, x,y,z\in U_2 \end{eqnarray}$ .
18.12.2011, 16:23	Delli20	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab' jetzt den Gaußalgorithmus mal angewendet. Dann kommt folgendes bei mir raus: a = -d +2e -3f b = -2d +2f c = 2d+ e Aber was genau ist jetzt meine Basis? Ist das dann (-1,2,-3),(-2,0,2),(2,1.0) ? Und wenn ich die Basen ergänzen soll, wie mache ich das dann?
18.12.2011, 17:45	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, wenn ich meinen (besseren) zweiten Vorschlag ausführe , erhalte ich $\begin{eqnarray} e,f \end{eqnarray}$ frei, $\begin{eqnarray} d=f, c=e+2f,b=0,a=2e+4f=2c \end{eqnarray}$ und mit etwas mehr Rechnerei $\begin{eqnarray} U_1\cap U_2=(e+2f)\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
18.12.2011, 18:08	Delli20	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich kann deine Rechnung nachvollziehen und weiß auch, was ich falsch gemacht habe. Aber ich habe immer noch nicht verstanden, wie ich diese Basis jeweils zu einer Basis von U1 und U2 ergänzen soll. Muss ich dann einfach Vektoren hintendran hängen?
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18.12.2011, 18:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Dimension des Durchschnitts ist 1. Wie ist die Dimension von $\begin{eqnarray} U_1 \end{eqnarray}$ und wie ist die Dimension von $\begin{eqnarray} U_2 \end{eqnarray}$ ? Das ist leicht zu berechnen, und jeweils so viele l.u. Vektoren hat eine Basis.
18.12.2011, 19:00	Delli20	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Dimension von U1 ist 3 und die Dimension von U2 ist auch 3, da alle drei Vektoren von U1 und U2 unabhängig sind. D.h. die Basis von U1 muss 3 Elemente haben?
19.12.2011, 17:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, jede Basis eines 3-dimensionalen Vektorraums hat genau 3 Elemente (so ist "Dimension" definiert). Der Vektor, der $\begin{eqnarray} U_1\cap U_2 \end{eqnarray}$ erzeugt, liegt in der schon bekannten Basis von $\begin{eqnarray} U_2 \end{eqnarray}$ , da ist die Basisergänzung also trivial. Bei $\begin{eqnarray} U_1 \end{eqnarray}$ musst du noch 2 andere l.u. Vektoren wählen.

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