Offen / Abgeschlossen

16.12.2011, 19:36

qwert zuiopü

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Offen / Abgeschlossen

Meine Frage:
Hallo, könnte mir jemand dieses Beispiel bitte erklären:
Das Intervall I: $\begin{eqnarray*} \left[o,\pi \right) \end{eqnarray*}$ ist nicht abgeschlossen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . (Beispiel aus Wikipedia "abgeschlossene Mengen")

Meine Ideen:
Ich dachte offene oder geschlossene Intervalle in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind abgeschlossen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Begründung: Jede Folge $\begin{eqnarray*} \left(a_{n}\right) n \in \mathbb N \in \end{eqnarray*}$ I hat ihren Grenzwert eben in I.

16.12.2011, 20:24

tigerbine

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RE: Offen / Abgeschlossen
Was ist I? Das Intervall? Gehört Pi zum Intervall? Nein.

16.12.2011, 20:38

qwert zuiopü

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RE: Offen / Abgeschlossen
Ja, I soll das Intervall sein und Pi gehört nicht dazu.

16.12.2011, 20:40

tigerbine

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RE: Offen / Abgeschlossen
Bleibst du also bei:

Zitat:

Ich dachte offene oder geschlossene Intervalle in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind abgeschlossen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Begründung: Jede Folge $\begin{eqnarray*} \left(a_{n}\right) n \in \mathbb N \in \end{eqnarray*}$ I hat ihren Grenzwert eben in I.

16.12.2011, 20:53

qwert zuiopü

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RE: Offen / Abgeschlossen
Die Sache ist: Ich kann ja eine Folge mir ausdenken, z.B $\begin{eqnarray*} \left(a_{n}\right) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \pi - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ . Diese Folge würde in I liegen, aber eben ihr Grenzwert $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ nicht. Aber da ihr Grenzwert nicht in I liegt, ist diese Folge nicht zur Betrachtung geeignet. verwirrt

verwirrt

Oder ist die Folge nur dann nicht geeignet, wenn fast alle Folgenglieder nicht in I liegen?

16.12.2011, 21:01

tigerbine

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RE: Offen / Abgeschlossen
Das ist doch gerade der Punkt. Wenn das Intervall abgeschlossen wäre, dann müßten die Grenzwerte aller konvergenten Folgen, die innerhalb des Intervalls liegen, auch im Intervall liegen.

Hier ist das aber nicht der Fall. Der Grenzwert liegt nicht drin. Gegenbeispiel, also offen.

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16.12.2011, 21:21

qwert zuiopü

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RE: Offen / Abgeschlossen
Ok, danke. Jetzt bin ich schon einen Schritt weniger verwirrt. Darauf kann ich aufbauen. Jetzt hätte ich noch eine weitere Frage: Wieso kann man dann den Satz vom Minimum und vom Maximum nicht auf abgeschlossenen Mengen anwenden? Wieso müssen hierfür die Mengen kompakt sein? Denn: Wenn ich in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ das Intervall $\begin{eqnarray*} I: = \left[0,\pi \right] \end{eqnarray*}$ gegeben habe, dann kann ich doch darauf mittels einer stetigen Funktion von I in die reellen Zahlen ein Maximum und Minimum bestimmen. verwirrt

verwirrt

. Übersehe ich da etwas?

16.12.2011, 21:24

tigerbine

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RE: Offen / Abgeschlossen
Du übersiehst, dass das Intervall [0,pi] in IR eben kompakt ist. Also sowohl abgeschlossen als auch ______. Das ist der Grund: schlechte Beispielwahl. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.12.2011, 21:33

qwert zuiopü

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RE: Offen / Abgeschlossen
Ok, sehe ich ein. Mal angenommen, wir wären in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Gibt es dort abgeschlossene Mengen, die so aussehen: $\begin{eqnarray*} I:= \left(0,1\right) \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

16.12.2011, 21:37

tigerbine

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RE: Offen / Abgeschlossen
Nein. Das Symbol ( steht doch gerade dafür, dass der Randpunkt nicht dazugehört.

16.12.2011, 21:55

qwert zuiopü

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RE: Offen / Abgeschlossen
Also, entweder ich bin total dumm, oder ich verstehe etwas nicht. Ich habe heute in der Vorlesung nachgefragt, warum denn für den Satz vom Minimum und Maximum nicht eine abgeschlossene Menge als Definitionsmenge genügen würde, und da hat mir unser Prof das Gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} I:= \left(0,1\right) \end{eqnarray*}$ für eine agbeschlossene Menge gezeigt - ich bin mir leider nicht mehr sicher, in welchem Definitionsbereich. Deswegen das lange um den heißen Brei herumgerede. Wo ist hier der Fehler? (Es wurde ganz sicher ein offenes Intervall gezeigt.)

16.12.2011, 21:57

tigerbine

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RE: Offen / Abgeschlossen
Meinst du nicht eher, dass er mit diesem Beispiel den zweiten Aspekt der Kompaktheit meinte. Nach dem hatte ich dich mit _________ ja auch schon gefragt.

(0,1) ist __________, aber nicht abgeschlossen, also nicht kompakt.

16.12.2011, 22:29

qwert zuiopü

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RE: Offen / Abgeschlossen
Hm, kann schon sein. Aber ich hatte ihn ja gerade nach der Abgeschlossenheit gefragt. Ich weiss, das eine kompakte Menge beschränkt und abgeschlossen sein muss. Aber ist nicht JEDES Intervall in IR bereits beschränkt (weil IR angeordnet ist) und ist nicht deswegen jedes abgeschlossene Intervall in IR zugleich kompakt?! Abgeschlossenheit für den Satz vom Mini- und Maximum würde in IR also beireits genügen. Aber nicht jede Menge, die abgeschlossen ist, z.B. in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist kompakt.

So also.

16.12.2011, 22:35

tigerbine

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RE: Offen / Abgeschlossen
Also ich meine, dass das Argument in dem Beispiel auf "ist beschränkt" aber "nicht abgeschlossen" basiert.

Würde da noch mal nachfragen, ob es ein Missverständnis gab.

Was du nun suchst, ist ein Beispiel für eine Menge, die abgeschlossen ist, aber nicht beschänkt. "D haben wir da ja andere Möglichkeiten. Du solltest aber vom Intervall weg, denn C ist isomorph zu IR² und mit dem Intervall bist du dann doch wieder in IR.

Ich denke an sowas: IR² und die Fläche die der Graph mit der x-Achse einschließt.

16.12.2011, 22:48

qwert zuiopü

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RE: Offen / Abgeschlossen
Ah - es ist also so, dass sich die Beschränktheit gar nicht auf die Ordnungsrelation der Elemente bezieht, sondern auf ihre Anzahl. Wenn eine Menge unendlich viele Elemente hat, ist sie nicht beschränkt. Also muss eine Menge endlich viele Elemente enthalten und "mit Rand" sein, damit sie kompakt ist.

16.12.2011, 22:56

tigerbine

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RE: Offen / Abgeschlossen
Nein, (0,1) hat auch unendlich viele Elemente.

Mein Beispiel zielt auf http://de.wikipedia.org/wiki/Beschr%C3%A4nktheit#Analysis ab, das "rote" Bild.

16.12.2011, 23:19

qwert zuiopü

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RE: Offen / Abgeschlossen
Ok. Sei M eine kompakte Menge M - also abgeschlossen und beschränkt, dass heißt also, man kann sie in einer Kugel mit endlichem Radius abbilden - und zwar in einem metrischen Raum. (Das heißt, dass alle (unendlich viele) Elemente zusammen nur einen begrenzten Raum einnehmen dürfen.) Sei f eine stetige Funktion f: M -> IR. So hat sie ein Maximum und ein Minimum.

16.12.2011, 23:44

tigerbine

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RE: Offen / Abgeschlossen
Wichtig ist die Kompaktheit, genau.

02.01.2012, 20:31

qwert zuiopü

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RE: Offen / Abgeschlossen
Danke Tigerbine für deine Geduld. Manchmal dauerts halt... Freude

Freude

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