Scheinklausur - Hohes Niveau ?

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Scheinklausur - Hohes Niveau ?
Meine Frage:
Hey Leute, wollte mal kurz hören was ihr meint ob diese Klausur

http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/Analysis-Griesemer-WS1112/KL1-Pub.pdf

ein hohes Niveau hat oder ob man die eher locker bestehen sollte???

Meine Ideen:
Vielen Dank für die Meinungen
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe 5) ist relativ anspruchsvoll (Fehler in falschen Beweisen zufinden ist meist viel schwieriger als Dinge zu widerlegen. Der Rest ist aber eigentlich zu schaffen und man kriegt ja mit den Aufgaben 2,3,4 schon mehr als die Hälfte der Punkte.
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, ist der Fehler bei der 5), dass die Abbildung nicht injektiv ist?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Bildung eines Minimums über eine unendliche Menge sollten sofort die Alarmglocken läuten.Ich kann der Aufgabe ehrlich gesagt nichts außergewöhnlich Schwieriges zusprechen. Insbesondere nach dem Fiasko der Quiz-Aufgabe, als man das Supremum definieren sollte. Spätestens da sollte man sich ausführlich mit dem Unterschied zwischen Supremum/Maximum bzw. Infimum/Minimum beschäftigt haben.

(Ich studiere auch in Stuttgart, aber im fünften Semester; einige meiner Freunde sind Tutoren dieser Vorlesung)

air
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Warum Alarmglocken? Die Abbildung ist wohldefiniert, weil die natürlichen Zahlen wohlgeordnet sind.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »









 
 
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

I_x wird auch auf n_0 abgebildet? Checke ich hier gerade was ganz Elementares nicht?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wähle dir mal ein beliebiges und trenne mit durch eine Umgebung U mit . Dann wird jedes offene Intervall, das ganz in U liegt und enthält, auf N abgebildet.

Natürlich ist die Aufgabe jetzt nicht unfassbar schwer, aber trotzdem die schwerste in dieser Klausur und für eine Erstsemesterklausur definitiv mit einem gewissen Anspruch versehen.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte und eine monoton steigende Abzählung der rationalen Zahlen. Dann sei . Betrachte nun . Da minimal war, aber ist, kann nirgendwohin abgebildet werden, ohne einen Widerspruch zu erhalten. Wäre nämlich , so müsste sein -- dies steht wegen der Minimalität aber im Widerspruch zu .

air
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Das meinte ich doch, die Abbildung ist nicht injektiv.

So hab ich es mir ueberlegt, sei q1 das erste Element der Abzählung von Q, dann ist



Edit:Also doch nicht Wohldefiniert, hmm ich versuche mal drüber nachzudenken.

Moment monoton steigende Abzahlung von Q? Sowas gibts doch garnicht?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt. Da habe ich auch gedanklich was übersprungen. So eine findet man natürlich nicht.

air
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Über die Wohldefiniertheit muss man sich eigentlich nicht streiten. verwirrt

Da jedes offene Intervall eine rationale Zahl enthält, ist die betrachtete Menge nichtleer und als Teilmenge der natürlichen Zahlen hat sie dann ein eindeutiges Minimum.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
... eine monoton steigende Abzählung der rationalen Zahlen ...


Erstens änderst du damit den Aufgabentext ab. Und zweitens: Was soll das sein?

Für das deiner Argumentation müßte man halt folgern.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Erstens änderst du damit den Aufgabentext ab. Und zweitens: Was soll das sein?


Nene, habe ich nicht. Man darf sich ja durchaus irgendeine Abzählung vorgeben. Dass es so eine nicht gibt, habe ich aber auch eben eingesehen.

*hust* Big Laugh

Für den Versuch einer monotonen Abzählung stelle ich mich jetzt erstmal in die Ecke.

air
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Zitat:
Original von Leopold
Erstens änderst du damit den Aufgabentext ab. Und zweitens: Was soll das sein?


Nene, habe ich nicht


Hast du doch ...
Laut Aufgabentext ist die Abzählung vorgegeben. Weitere Anforderungen sind nicht bekannt.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe die Aufgabe so, dass diese Konstruktion für jede Abzählung funktioniert -- ergo genügt es auch, wenn es eine gibt, für die es nicht funktioniert.

air
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe heißt aber nicht



sondern

Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Da steht kein Wort von "es existiert eine Abzählung, so dass [...]". Dann müsste das nämlich auch begründet werden. Dort steht nur, man gibt sich eine beliebige, aber feste Abzählung vor.

air
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Im Grunde genommen hat Airblader recht, aber wenn es wirklich nur an der Wahl der Aufzählung liegen würde, so könnte man den Beweis ja durch geschickte Wahl der Aufzälhung retten. Und das soll wahrscheinlich ausgeschlossen werden.

Mal wieder ein Beispiel von unsauberer Aufgabenstellung durch sprachliche Ungenauigkeit. Denn in der Tat könnte ja ein Student in der Klausur sich eine spezielle Aufzählung hernehmen (z.B. die von Cantor, die er gelernt hat) und dann die Injektivität widerlegen. Und dann darf man sich streiten wieviele Punkte dieser kriegt. Big Laugh
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt allerdings. Letztlich war es für meinen spontanen Gedanken ja sowieso unerheblich. Darf ich übrigens wieder aus der Ecke kommen? Tanzen

air
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Von mir aus gerne Augenzwinkern

Da hab ich ja was losgetreten, aber anscheinend ist jetzt alles geklärt, danke für die rege Beteiligung smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Voraussetzungen der Aufgabe abgeändert. Es heißt ausdrücklich:

Sei weiter eine fest vorgegebene Abzählung der rationalen Zahlen .

Wenn es in einer Aufgabe heißt:

Sei ein fest vorgegebenes Dreieck. Dann ... dies und das ...

Dann darfst du für das Dreieck auch nicht Rechtwinkligkeit oder sonst etwas voraussetzen.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

"Sei ..., dann gilt der Satz des Pythagoras"

wird nicht wahrer, wenn ich "... ein beliebiges Dreieck" durch ".... ein fest vorgegebenes Dreieck" ersetze. Die Aussage in dieser Allgemeinheit ist schlicht falsch. Ich verstehe "fest vorgegeben" einfach so, dass man sich einmalig ein beliebiges(!) Dreieck wählt und ab sofort aber nicht mehr ändert.

air
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du irrst.

Das Problem liegt natürlich darin, daß es das Ding, was du zum Beweis heranziehst, nämlich eine monoton steigende Abzählung, gar nicht gibt. Das war ja dein Irrtum. Aber am Anfang war dir ja nicht klar, daß es das nicht gibt. Wir müssen also dahin zurück, wo du glaubtest, so etwas gäbe es.

Dann hast du "gezeigt": Für jede monoton steigende Abzählung erhält man einen Widerspruch.

Und was ist mit monoton nicht steigenden Abzählungen? Für die könnte es immer noch klappen.
Tsmith Auf diesen Beitrag antworten »

Hi! Mini Zwischenfrage, wenn man sich hier über die Aufgaben unterhalten darf:
Was ist der Ansatz für 3 (b) , was wohl gegen konvergiert?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Und was ist mit monoton nicht steigenden Abzählungen? Für die könnte es immer noch klappen.


Stimmt. Der Beweis wäre dennoch falsch (aufgeschrieben), siehe tmo. Es geht ja gerade auch nicht um die Aufgabe, sondern um die Formulierung "fest vorgegeben", siehe das Dreieckbeispiel.

Wenn man wirklich eine ganz bestimmte, konkrete Abzählung meint, dann muss man sie angeben, sonst ist der Beweis sowieso wertlos. Da könnte ich ja alles beweisen.

air
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Und was ist mit monoton nicht steigenden Abzählungen? Für die könnte es immer noch klappen.


Das ist doch eigentlich egal. Vielleicht mal ein klärendes Beispiel.

Wenn dir jemand folgendermaßen beweist, dass Wurzel 2 algebraisch ist:

Sei ein beliebiges Polynom, dann ist , also ist Wurzel 2 algebraisch.

, so würdest du demjenigen doch berechtigter Weise keinen einzigen Punkt geben, weil der Beweis einfach völliger Quatsch ist.

Klar kann man ihn durch "Sei f ein Vielfaches von (x^2-2)..." retten, aber das tut doch nichts zur Sache.

Und genauso wollte Airblader an die Sache rangehen:
Der Beweisende behauptet in seinem Beweis in der Tat, dass der Beweis mit jeder Abzählung funktioniert. Um zu demonstrieren, dass der Beweis nicht (vollständig) richtig ist, reicht es eine Abzählung anzugeben, mit der der Beweis nicht funktioniert.

Ob der Beweis durch geschickte Wahl der Aufzählung zu retten ist (was wir widerlegt haben und Airblader halt gar nicht beachtet hat), spielt eigentlich streng genommen zunächst keine Rolle. Eben durch diese sprachliche Ungenauigkeit.



PS:
Zitat:
Original von Tsmith
Was ist der Ansatz für 3 (b) , was wohl gegen konvergiert?


Eine kleine Verallgemeinerung von :
Konvergiert gegen , so konvergiert , gegen
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verändere tmos Beispiel mal kurz zu

Sei ein fest vorgegebenes Polynom, dann ist , also ist Wurzel 2 algebraisch.

Darum geht es ja schließlich. Und dieser Beweis ist ebenso wertlos wie der, den tmo angegeben hatte.

air
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe 4 ist doch trivial (siehe Ungewiss' Beitrag). Aufgabe 3b) finde ich am schwierigsten. (Und wahrscheinlich auch am nervigsten zu korrigieren Augenzwinkern )
Insgesamt eher eine leichtere Klausur, wobei viel Schwerpunkt auf Rechenaufgaben im Vergleich zu Beweisaufgaben gelegt wurde. Jemand, der damit Schwierigkeiten hat, könnte deshalb vielleicht schlechter abschneiden. Zum Beispiel kommt nirgendwo etwas mit Stetigkeit oder Differenzierbarkeit vor.
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Konvergiert gegen , so konvergiert , gegen


Vielleicht kannst du oder jemand anders mir bei derm Beweis dieser Aussage helfen?

Angenommen es ist bekannt, dass

Mein Ansatz war so abzuschätzen


Den zweiten Ausdruck kriegt man klein, aber wie man den ersten bearbeiten sollte ist mur unklar? Den binomschen Satz nehmen und ausmultiplizieren, oder die dritte binomische Formel benutzen ist mir eingefallen, aber weiter brachte es mich nicht auf Anhieb. Die Aufgabe aus der Klausur hätte ich mit einem Sandwich gelöst, ist das vielleicht auch hier eine Möglichkeit?

Edit: habs nochmal probiert und jit dem binomischen Satz sollte es wohl klappen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde meinen, daß das eine typische Analysis I - Klausur mit "normalem" Niveau ist.
Wenn ich an meine Analysis I - Klausur zurückdenke, war die so ziemlich von dieser Art.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Airblader, tmo

Wenn in der Mathematik eine Größe "fest vorgegeben" ist, dann ist das eben gerade nicht im Sinne von "für alle " gemeint. Vielmehr handelt es sich dann um einen Parameter, der in einem der eigentlichen Aufgabe vorgelagerten Bereich existiert. Im vorgelagerten Bereich darf er geändert werden, im Bereich der Aufgabe jedoch nicht.

Sei fest vorgegeben.
Wir betrachten die Menge aller Punkte mit .
Zeigen Sie, daß kein Kreis ist.


Airbladers Variante würde jetzt so gehen: Es ist nicht verboten, ein negatives zu wählen (was ich "Zusatzanforderung" nenne). Die Gleichung besitzt keine Lösungen. Also ist kein Kreis.

Er hat damit gezeigt:
Er hätte aber zeigen sollen, daß unter keinen Umständen einen Kreis darstellt.

Und er weiß ja auch gar nichts über andere . Möglicherweise wäre ja für andere ein Kreis. Und hier ist die Aufgabe ja auch bewußt falsch gestellt. Für andere ist durchaus ein Kreis.

Jetzt eine Variante der Aufgabe.

Sei fest vorgegeben.
Wir betrachten die Menge aller Punkte mit .
Zeigen Sie, daß kein Kreis ist.


Airbladers Variante: Wähle speziell ein negatives ("Zusatzanforderung"). Die Gleichung besitzt keine Lösungen. Also ist kein Kreis.

Er hat damit gezeigt:
Er hätte aber zeigen sollen, daß unter keinen Umständen einen Kreis darstellt.

Und wieder weiß er nichts über andere . Und dieses Mal liefern auch die andern keinen Kreis.

Eure Argumentation sticht einfach nicht. Und es liegt nur daran, daß ihr "für alle" interpretiert, wo nicht "für alle" steht. (Über diesen Fall können wir uns sofort einigen.)

Euer Beispiel ist auch falsch gewählt. Da geht es nicht um "für alle Polynome", sondern in der Analogie müßte von einem fest vorgegebenen Polynom ausgegangen werden. Man kann doch nicht einfach die Voraussetzungen einer Aufgabe abändern.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ungewiss
Angenommen es ist bekannt, dass

Mein Ansatz war so abzuschätzen


Den zweiten Ausdruck kriegt man klein, aber wie man den ersten bearbeiten sollte ist mur unklar? Den binomschen Satz nehmen und ausmultiplizieren, oder die dritte binomische Formel benutzen ist mir eingefallen, aber weiter brachte es mich nicht auf Anhieb. Die Aufgabe aus der Klausur hätte ich mit einem Sandwich gelöst, ist das vielleicht auch hier eine Möglichkeit?

Edit: habs nochmal probiert und jit dem binomischen Satz sollte es wohl klappen.


Du könntest dir z.B. auch beliebig vorgeben und dann N genügend gross wählen, so dass



Damit bekommst du für :



und deshalb



Daraus folgert man leicht
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Um mal zu sehen, ob ichs verstanden habe:

Wir haben also folgendes


Angenommen , dann gibt es, da stetig in a ein , so dass Widerspruch, da


Danke für diesen alternativen Ansatz!

Edit: Man ist dann noch nicht ganz fertig, dann hat man für alle


Und dann liefert oder wieder ein ähnlich aufgebauter Widerspruchsbeweis die Behauptung.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@ Leopold

Tut mir leid, aber dein Beispiel gibt meine Auffassung davon keineswegs wieder. Einen Wert zu finden, für den die Aussage stimmt, ist natürlich nutzlos. Einen zu finden, für den sie falsch ist, widerlegt sie. Das ist uns beiden aber nicht neu. Wir wollten in der Klausur einen angeblichen Beweis widerlegen, also haben wir ein Gegenbeispiel zur Argumentation dort angeführt (bzw. wollten das tun). Dort hieß es, "Sei r_n eine fest vorgegebene Abzählung". Wäre damit lediglich "Es gibt eine, so dass das Folgende stimmt", worin genau siehst du dann den Nutzen des Beweises, wenn man diese Abzählung nicht auch angibt? Da könnte ich genauso gut direkt schreiben "Sei f eine fest vorgegebene Abzählung der offenen Intervalle, dann folgt die Behauptung". Und das ist natürlich blanker Unsinn.

Was ich nicht verstehe, ist dein Satz

Zitat:
[...] sondern in der Analogie müßte von einem fest vorgegebenen Polynom ausgegangen werden


Ich hatte beim Polynom doch "sei fest vorgegeben" geschrieben – wo ist das Problem?

air

*) Oder mehrere, aber eben nicht alle.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Airblader

Die Folge spielt in der Aufgabe die Rolle eines Parameters. Die Abzählung ist schon da und festgelegt. Du darfst darüber keine weiteren Annahmen machen. Falls du es doch tust, mußt du alle möglichen Annahmen machen. Stichwort: Fallunterscheidung.

Wenn es heißt: Lösen Sie für fest vorgegebenes die Gleichung , dann darfst du über keine speziellen Annahmen machen, also etwa sagen: Die Lösungen sind , weil ich annehme (und der Rest mich nicht interessiert). Sondern du mußt sagen: Unter der Annahme, daß ist (1.Fall), sind die Lösungen , und unter der Annahme, daß ist (2.Fall), ist die Gleichung unlösbar. Alle Fälle wurden behandelt.

So kannst du auch in dieser Aufgabe über keine speziellen Annahmen machen. Und wenn du es doch tust, mußt du alle möglichen Annahmen machen: also "monoton wachsende" und nicht "monoton wachsende" Abzählungen betrachten, eben alle möglichen Fälle.
Das Ziel der Aufgabe ist doch zu zeigen, daß die vorgegebene Konstruktion keine Bijektion liefert: unter keinen Umständen, nicht nur unter speziellen Umständen. Es heißt ja gerade nicht:

Für alle Abzählungen von wird durch



eine injektive Abbildung von der Menge der offenen Intervalle in die Menge der natürlichen Zahlen definiert.

Sondern es heißt: Für eine fest vorgegebene Abzählung usw.

Wenn du über eine spezielle Annahme machst und dafür zeigst, daß die Behauptung falsch ist, hast du eine Beweislücke entdeckt, im weiteren Sinn natürlich auch einen Beweisfehler entlarvt. Dennoch ließe sich der Beweis vielleicht noch retten mit einer geschickt gewählten anderen Abzählung der rationalen Zahlen.

Und dein Beispiel mit dem Satz des Pythagoras verstehe ich nicht. Es paßt ja schon gar nicht auf die Situation, weil dort kein Parameter ist. Genauso die Sache mit dem Polynom.

Wenn du über einen Parameter weitere Annahmen machst, die in der Originalaufgabe nicht vorkommen, verfälschst du die Aufgabe. Man könnte auch sagen: Du vereinfachst die Situation.

Ich denke, der Streit geht letztlich um verschiedene Sprachebenen und den Gültigkeitsbereich von Parametern und Variablen. Dann auch noch die Unterscheidung zwischen "falscher Aussage" und "falschem Beweis". Das wird ja auch leicht durcheinander geworfen. Vielleicht kann sich ja einmal ein fachkundiger Logiker dazu äußern.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Der (falsche) Beweis ist ja aber nicht die eigentliche Aufgabe. Der Beweis darf Dinge also nicht vorgeben. Wenn ich in einem Beweis schreibe "Sei (r_n) eine fest vorgegebene Abzählung", und das bedeuten soll, dass es nur eine einzige ist, die existieren muss, dann ist mein Beweis eine Art Computer, den ich erst mit einer Abzählung füttern muss.

... doch was habe ich dann gezeigt? Gar nichts. Wie gesagt, andernfalls könnte ein Beweis genauso gut lauten

Zitat:
Gegeben sei eine fest vorgegebene Bijektion von den natürlichen Zahlen auf die offenen Teilmengen der reellen Zahlen. Dann folgt die Behauptung.


Ein Beweis darf keinen "Input" nehmen und dann sagen "Füttere mich mit dem richtigen Input und ich stimme", denn niemand kann garantieren, dass es diesen Input gibt.

Also in diesem Fall: Ein Beweis, der eine fest vorgegebene Abzählung nimmt und damit etwas konstruiert, diese Konstruktion aber wirklich nur für eine bestimmte Abzählung funktioniert, beweist gar nichts, wenn er diese konkrete Abzählung nicht auch angibt.

Zitat:
Wenn du über eine spezielle Annahme machst und dafür zeigst, daß die Behauptung falsch ist, hast du eine Beweislücke entdeckt, im weiteren Sinn natürlich auch einen Beweisfehler entlarvt. Dennoch ließe sich der Beweis vielleicht noch retten mit einer geschickt gewählten anderen Abzählung der rationalen Zahlen.


Ja, richtig. Das sagte tmo ja auch bereits und da stimme ich völlig zu. Nichts desto trotz ist der Beweis dann halt nunmal falsch. Er wäre vielleicht zu retten, aber er ist falsch. Wenn ich einen Satz formuliere, dass t² für fest vorgegebenes t aus R größer als 1 ist, dann ist dieser Satz halt nunmal falsch. Er mag für viele t dennoch stimmen, die Aussage lässt sich "retten", aber in ihrer Allgemeinheit ist sie falsch.

air
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

@ Ungewiss:

Zitat:
Und dann liefert oder wieder ein ähnlich aufgebauter Widerspruchsbeweis die Behauptung.


Ja genau. Der Grenzübergang war genau die Idee. (und zu benutzen, dass der Limes genau dann existiert, wenn der Limes Superior und Limes Inferior gleich sind). Alles in einem hat man



also sind liminf und limsup gleich und deshalb

Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe, damit kriegt man quasi alles in einem Schritt. Sehr geschickt hier mit Limsup/inf zu arbeiten.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Airblader

Halten wir einmal fest:

Deine Lösung war sowieso falsch, weil es eine streng monotone Abzählung von nicht gibt. Wir reden also nur darüber, inwiefern nicht nur die Lösung falsch war, sondern du innerhalb der falschen Lösung noch weitere verbotene Dinge tatest.

Du gehst in deinen Antworten mit keiner Silbe auf den Begriff des Parameters ein. Aber um den geht es hier. ist eben keine Variable, die mit dem Allquantor quantifiziert wird, sondern ein Parameter, der vor der eigentlichen Aufgabe steht. Das wird durch "fest vorgegeben" zum Ausdruck gebracht.

Das Ding ist also schon da, du darfst darüber nicht mehr verfügen. Ebenso übrigens wie die Abbildung



Auch die ist schon da. Und über diese Abbildung (die übrigens wohldefiniert ist) wird nun eine Behauptung ausgesprochen. Es wird ein bißchen verklausuliert von einer Abzählung der Intervalle geredet, die damit auf irgendeine Art und Weise vorliege. Bringen wir es auf den Punkt: ist injektiv. So die Behauptung.

Und diese Behauptung gilt es zu widerlegen. Um aber die Injektivität einer Abbildung zu widerlegen, muß man zwei verschiedene Argumente mit demselben Bild angeben. Wie man das machen kann, habe ich in meinem ersten Beitrag vorgestellt. Andere haben andere Lösungen vorgeschlagen.

Jetzt hast du über noch eine weitere Annahme gemacht. Da diese unsinnig war, tu ich für die Argumentation jetzt einmal so, als hättest du eine sinnvolle Annahme gemacht, zum Beispiel "wähle die auf dem Cantorschen Diagonalverfahren beruhende Abzählung" oder sonst eine für sich selbst genommen sinnvolle Zusatzannahme. Wenn du jetzt auf welche Art auch immer begründet hättest, daß die von dir konkret gewählte Abzählung zu einem nicht injektiven führt, hättest du dennoch die Aufgabe nicht gelöst. Denn du wärest von einer Eigenschaft von ausgegangen, von der du gar nicht weißt, ob das fest vorgegebene diese Eigenschaft überhaupt hat. Du hättest eben nur für dieses dein das Scheitern nachgewiesen, aber nicht für jenes fest vorgegebene . Da du weitere Eigenschaften von außer eine Abzählung der rationalen Zahlen zu sein nicht kennst, darfst du deine Argumentation auch nur auf die letzte Eigenschaft stützen. Oder du mußt eine vollständige Fallunterscheidung durchführen.

Die Behauptung, daß injektiv ist, hängt eben von ab und könnte für das eine richtig, für das andere falsch sein. Wenn nun über alle quantifiziert würde, dann würde die Angabe eines Gegenbeispiels genügen. Es wird aber über nicht quantifiziert ("fest vorgegeben"). Das ist der Punkt.


Jetzt gehe ich einmal ins Detail, um den kleinen, aber wichtigen Unterschied zu verdeutlichen.


Definition

Sei eine Abzählung von . Dann wird auf der Menge der offenen reellen Intervalle eine Abbildung in die natürlichen Zahlen erklärt durch




Nun geht es um die folgende Aussage , die vom Parameter abhängig ist:



Es soll gezeigt werden, daß bei vorgegebenem diese Aussage falsch ist, mithin ihr Gegenteil wahr:

ist wahr

Damit hat man unendlich viele Sätze. Jedes irgendwie fest vorgegebene liefert einen neuen Satz. Und jeder dieser Sätze soll wahr sein. Damit lautet die

Originalaufgabe:

ist wahr

im Detail:

ist wahr



Du dagegen quantifizierst über mittels "für alle". Es geht also bei dir um die Aussage . Du willst zeigen, daß diese Aussage falsch, mithin ihr Gegenteil wahr ist, löst als die folgende

Airblader-Aufgabe:

ist wahr

oder gleichwertig:

ist wahr

im Detail:

ist wahr



Und darum geht der ganze Streit. Du sagst: vor dem ganzen Zeug (Detailfassung) genügt. Ich sage: Du hast die Aufgabe abgeändert, ja vereinfacht, weil verlangt ist.


Zitat:
Wenn ich einen Satz formuliere, dass t² für fest vorgegebenes t aus R größer als 1 ist, dann ist dieser Satz halt nunmal falsch. Er mag für viele t dennoch stimmen, die Aussage lässt sich "retten", aber in ihrer Allgemeinheit ist sie falsch.


Das ist mir viel zu schwammig und geht am Kern der Sache vorbei. Denn wenn fest vorgegeben ist, wird über nicht quantifiziert. Das ist also nicht ein Satz, sondern es sind viele Sätze , abhängig vom Parameter . Gewisse dieser Sätze sind wahr, andere sind falsch.

Das ist der Unterschied: Parameter oder Variable.

In deinen Beispielen schreibst du zwar immer "fest vorgegeben", in deinem Kopf aber identifizierst du das mit "für alle" (siehe das Zitat). Und da liegt das Problem. Man muß die Dinge nicht nur verschieden benennen, sondern auch verschieden behandeln.
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