Stetigkeit einer Funktion nachweisen

Neue Frage »

Telperion Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit einer Funktion nachweisen
Hallo zusammen,

ich habe auf meinem Übungsblatt folgende Funktion auf Stetigkeit zu untersuchen:



Ich habe bereits nachgewiesen, dass die Funktion in und unstetig ist.
Ich habe die Vermutung, dass sie in stetig ist.
Leider habe ich keine Ahnung, wie ich das zeige. Über tipps wäre ich dann sehr dankbar.

Vielen Dank schonmal im Vorraus.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit einer Funktion nachweisen
im Vorraus brauchst du dich nicht zu bedanken, evtl im Voraus...




ist für rationales x unstetig, sonst stetig.

Quelle: Friedhelm Erwe : Elemente der Infinitesimal- und Differenzialrechnung


Hilft das?
Telperion Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit einer Funktion nachweisen
Ich bitte meine Rechtschreibfehler zu entschuldigen..

Allerdings hilft mir deine Antwort nicht unbedingt weiter, um einen Beweis zu formulieren, oder ich sehe den Wink nicht, den du mir geben möchtest.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

nun bei ist alles geklärt,

bei ist deinerseits die rationale Seite geklärt.

Das war kein Wink, der zur Lösung führen muss, lediglich ein Hinweis auf das Ergebnis einer "ähnlichen" Aufgabe. Frei nach dem Motto : vielleicht hilft es Augenzwinkern
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Wie hast du denn gezeigt, dass die Funktion auf unstetig ist?
Telperion Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, nur leider sehe ich nicht, wie mir das bei dem Beweis der Stetigkeit meiner Funktion helfen soll, denn ich darf das von dir angegebene Ergebnis nicht verwenden; ich müsste das auch zeigen..
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

demnach wäre der erste Schritt tatsächlich:

Zitat:
Original von pseudo-nym
Wie hast du denn gezeigt, dass die Funktion auf unstetig ist?
Telperion Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo pseudo-nym, ich habe folgendes gemacht:

Sei .

Dann gilt
Nun halte ich mich an das Folgenkriterium der Stetigkeit:
. Daraus folgt dann die Unstetigkeit der Funktion nach dem Folgenkriterium
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ihr Folgenstetigkeit schon eingeführt habt, kannst über diese die Stetigkeit zeigen. Nimm dir also eine irrationale Zahl z und eine belibige Folge, die gegen z konvergiert. Damit die Funktion stetig in z wird, muss die Folge der Bilder gegen konvergieren.

Es ist wohl hilfreich sich vorzustellen wie rationale Zahlen in einem kleinen epislon-Ball um eine Zahl mit unendlicher Dezimalbruchdarstellung aussehen.

(Desweiteren wäre das Epsilon-Delta-Kriterium auch einen Versuch wert.)
Telperion Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, damit lässt sich wohl arbeiten.

Sei beliebige Folge mit Dann ist
und .

Damit ist die Funktion nach dem Folgenkriterium stetig in .
Reicht das so?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Telperion


Das musst du mehr ausführen.
Telperion Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, aber wenn die Idee an sich passt ist es ja gut, dann kann ich das morgen nochmal sauber aufschreiben.

Vielen Dank für deine Hilfe zu der späten Stunde. Freude
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Was für eine Idee? Wenn ich sone Abgabe kriegen würde, würde ich dafür keine Punkte vergeben, also für den Teil mit den irrationalen Zahlen.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Da du dein Argument nicht besonders ausgeführt hast, ist es schwer zu sagen, aber ich vermute du hast fast noch den ganzen Beweis vor dir.

Es gilt jedenfalls nicht .

Zitat:
Original von Ungewiss
Wenn ich sone Abgabe kriegen würde, würde ich dafür keine Punkte vergeben, also für den Teil mit den irrationalen Zahlen.


Genau, denn Punkte sind das ultimative Kriterium für die Güte einer Argumentation.
Telperion Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich würde ich das so nicht abgeben. Es geht mir aber hier auch viel mehr darum, dass ich die Idee des Beweises verstehe, auf 2 Punkte könnte ich durchaus auch verzichten... Es ist ja wohl klar, dass ich darauf keine Punkte kriege, natürlich fehlt da Argumentation. Vielleicht hätte ich dazu schreiben sollen:
"Der Beweis läuft etwa viel Folgt ab.."

Ich werde jetzt ins Bett gehen und den Beweis morgen nochmal sauber aufschreiben. Wenn etwas nicht klappt, frage ich nochmal nach.

Nochmals danke pseudo-nym. smile
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich bleibt es dir überlassen ab wann du dich zufrieden gibst, aber ich glaube du hast die "Idee" hinter dem Beweis noch nicht gesehen. Die hat nämlich hiermit zu tun.

Zitat:
Es ist wohl hilfreich sich vorzustellen wie rationale Zahlen in einem kleinen epislon-Ball um eine Zahl mit unendlicher Dezimalbruchdarstellung aussehen.
Telperion Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir jetzt Folgendes überlegt:
Sei mit .
Für gibt es nun die Folgenden zwei Fälle:
1. ist eine irrationale Zahl, dann ist .
2. ist rationale Zahl. Das kann aber doch nur abzählbar oft passieren, da abzählbar ist.
Nun ist die Menge der irrationalen Zahlen aber überabzählbar groß, es liegen sogar zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen überabzählbar viele irrationale Zahlen.
D.h. für fast alle .

Damit ist .
Ist die Argumentation so in Ordnung, oder sind dort noch Lücken?
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst Stetigkeit nicht durch Wahl einer speziellen Folge verifizieren, und Behauptung 2 ist schlicht falsch, bzw die Folgerungen die du ziehst, dass eine Folge nur abzählbar oft einen Wert annimmt ist trivial.

Ich geb dir mal den Tipp in google "stetig 1/q" einzugeben.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »