Flächeninhalt regelmäßiges n-Eck

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chris95 Auf diesen Beitrag antworten »
Flächeninhalt regelmäßiges n-Eck
Hi, ich würde gerne den Flächeninhalt eines regelmäßigen n-Ecks mit Kantenlänge d durch Integration in kartesischen Koordinaten errechnen. Den Ursprung hab ich jetzt einfach mal in den Mittelpunkt gelegt.

Also



Ich weiß nur nicht die Abhängigkeit y(x) bzw. x(y).

Kann mir jemand mit diesem Problem helfen?

Viele Grüße,
chris
chris95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die Frage nicht klar gestellt, oder zu schwer? Wäre über eine Antwort froh.
Bzw. ist es gar nicht möglich, diese Problem mit Integration zu lösen?

Freundliche Grüße,
chris
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Warum willst du etwas zwanghaft mit Integralrechnung lösen, was mit elementarer Dreiecksgeometrie und ein wenig Trigonometrie beinahe umsonst zu haben ist?
chris95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss ein Trägheitsmoment ausrechnen und da muss ich eben unter anderem die "schwierige" Integration

durchführen.

Hab mich auch schon überlegt in Zylinderkoordinaten zu gehen und dann:



zu integrieren. Jedoch weiß ich eben nicht wie ich die Grenzen wählen kann, da der Radius über den Winkel ja nicht konstant ist.

Viele Grüße,
chris
schwupdiwup Auf diesen Beitrag antworten »

1. Was hat das mit dem regelmäßigen n-Eck zu tun? 2.
Zitat:
Original von chris95
chris95 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, du solltest wissen, dass beim n-Eck y(x) abhängt. Im Prinzip müsste ich die Abhängigkeit herausfinden, aber das scheint zu schwer zu sein bzw. vll. gar nicht möglich.

Ich hab es bisher noch nicht geschafft.

Ich habe mir überlegt, ob ich vll. einfach das Trägheitsmoment eines Keils ausrechne und dann Drehmatrizen draufklopp.

Viele Grüße,
chris
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du eigentlich berechnen? Sehe ich das richtig, daß es um geht, wobei der Bereich eines regelmäßigen -Ecks ist?

Ich nehme das einmal so an und gehe von einem -Eck aus, dessen Punkte auf dem Einheitskreis liegen. Mit wären das speziell



Zieht man vom Ursprung aus Radien zu den Punkten , so zerfällt in Dreiecksbereiche. Für sei der Bereich mit den Ecken . Damit gilt:



Dreht man das Dreieck im Uhrzeigersinn um den Winkel und dann noch einmal um weiter, geht es in das Dreieck mit den Ecken über. Die Rückdrehung wird beschrieben durch



Nun wendet man die Substitutionsregel für Bereichsintegrale an. Für die zweite Koordinate des Vektors oben erhält man



Quadriert man das, so erhält man mit den Formeln für das doppelte Argument von Sinus und Cosinus



Und weil orthogonal mit Determinante ist, gilt: . Zusammen ergibt das



Die Sinus- und Cosinussummen haben aber für den Wert . So bleibt nicht mehr viel übrig:



Als Lösung habe ich



Möglicherweise kann man mit physikalischen Überlegungen schneller zu diesem Ergebnis kommen. Es fällt ja auf, daß die ganzen von abhängigen Sinus- und Cosinusbestandteile letztlich keine Rolle spielen. Als Nichtphysiker kann ich dir hier aber bei der Argumentation nicht helfen.
chris95 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank.

Ich habs jetzt auch noch "physikalisch" Probiert, da ich weiß dass sich die Trägheitsmoment unter Drehung Tränsformieren wie:



Somit ergibt sich als Gesamträgheitsmoment:

.

Damit komm ich aufs gleiche.

Danke für deine Mühe Leopold.

Viele Grüße,
chris
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