Teilbarkeit durch 7 durch Z / {7} beweisen

17.12.2011, 21:29	qwert zuiopü	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit durch 7 durch Z / {7} beweisen Meine Frage: Hallo! Folgende Aufgabe sei gegeben: Formulieren Sie eine Regel für die Teilbarkeit durch 7. Hinweis: $\begin{eqnarray} 1000\equiv -1 mod 7 \end{eqnarray}$ Und sie soll ähnlich wie die Teilbarkeit einer Zahl durch 3, bzw, 9, bzw 11 beweisbar sein, nämlich mittels der Teilbarkeit durch die Quersumme. Meine Ideen: Das mit der Quersumme war nicht so dass Problem. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^r a_{k} \end{eqnarray}$ = teilbar durch 3, dann folgt $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^r a_{k}\cdot 10^{k} \end{eqnarray}$ = teilbar durch 3, Induktion und fertich. Leider kann ich bei der Quersumme von Vielfachen von Sieben keine solche Regelmäßigkeit feststellen, außer, dass sie im 2-er Schritt abfällt, also: 7,14,21,28,35,42,... Quersumme: 7,5,3,1,8,6,... und ich bin mir nicht sicher ob ich das hier verwenden kann, ein Ansatz wäre: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^r k\cdot 7 \end{eqnarray}$ und dann irgendwas mit der Quersumme...aber irgendwie komme ich da nicht so ganz auf einen grünen Zweig. Und ich würde gerne den Tipp $\begin{eqnarray} 1000\equiv -1 mod 7 \end{eqnarray}$ verstehen.
17.12.2011, 21:56	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit durch 7 durch Z / {7} beweisen hallo quert, dieser tip ist für eine teilbarkeitsregel durch 7 für mindestens 4-stellige zahlen geeignet. Alles weitere morgen. gruss ollie3
17.12.2011, 22:22	qwert zuiopü	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit durch 7 durch Z / {7} beweisen Jo, ist schon spät. Danke erstmal für den Hinweis
18.12.2011, 10:12	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit durch 7 durch Z / {7} beweisen hallo quert, also wie gesagt, es geht hier um eine teilbarkeitsregel durch 7 für mindestens 4-stellige zahlen. Dann zeige ich dir mal, wie man hier vorgeht: nehmen wir mal an, ich will wissen ob die zahl 22538 duch 7 teilbar ist, dann zerlege ich erstmal 22538=221000+538. Nun, ich weiss dass 1000=-1 mod 7 ist, dann ist 221000=22*(-1)=-22 mod 7, und 22538=-22+538 mod 7, dass heisst 22538 hat tatsächlich den gleichen 7errest wie 538-22. Na, erkennst du jetzt die regel die man hier immer anwenden kann? gruss ollie3
18.12.2011, 11:44	qwert zuiopü	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit durch 7 durch Z / {7} beweisen Hi Ollie, vom Prinzip her klar, danke . Ich werd da noch einen Algorithmus draus basteln und den können wir dann prüfen, ja? Bin gerade an einem Aufgabenblatt zur diskreten Mathematik gebunden...
02.01.2012, 19:06	qwert zuiopü	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit durch 7 durch Z / {7} beweisen 1001 = -1 mod 7. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^n a_{i}10^{i} = \sum\limits_{i=0}^2 a_{i}10^{i} + \sum\limits_{i=3}^n a_{i}10^{i} + ... + \sum\limits_{i=n-2}^n a_{i}10^{i} \end{eqnarray}$ Dann folgt für die Teilbarkeit $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^2 a_{i} - \sum\limits_{i=3}^n a_{i} + ... \pm \sum\limits_{i=n-2}^n a_{i} = \overline a_{0} - \overline a_{1} + ....+ \mp\overline a_{m} m\in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Falls nun die Summe der alternierenden Restklassen $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^m (-1)^{k}\overline a_{i} = 0 \end{eqnarray}$ sein sollte, dann ist die Zahl durch 7 teilbar. Ich hoffe, das stimmt so und nochmal vielen Dank für deine Hilfe, Ollie3
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