Faktorraum für (Z5)^5

18.12.2011, 16:40	barracuda317	Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorraum für (Z5)^5 Hallo, es geht um folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ der 5-dimensionale $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_5 \end{eqnarray}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray} {{\mathbb{Z}_5}}^5 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U \subseteq V \end{eqnarray}$ der Unterraum $\begin{eqnarray} U = < \begin{pmatrix} \tilde1\\ \tilde0 \\ \tilde0 \\ \tilde4 \\\tilde0\end {pmatrix}\begin{pmatrix} \tilde2\\ \tilde0 \\ \tilde1 \\ \tilde0 \\\tilde0\end{pmatrix}> \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie eine Basis für den Faktorraum $\begin{eqnarray} V/U \end{eqnarray}$ . Laut einem Satz aus dem Skript ist mit $\begin{eqnarray} dimV=5 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} dim U= 2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} dim V/U = 5-2=3 \end{eqnarray}$ Daraus habe ich mir überlegt, die Basis mit 3 Vektoren zu erweitern, so dass ich eine Menge mit 5 unabhängigen Vektoren habe. Meine Lösung lautet: $\begin{eqnarray} V=<\begin{pmatrix} \tilde1\\ \tilde0 \\ \tilde0 \\ \tilde4 \\\tilde0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \tilde2\\ \tilde0 \\ \tilde1 \\ \tilde0 \\\tilde0\end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \tilde0\\ \tilde1 \\ \tilde0 \\ \tilde0 \\\tilde0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \tilde0\\ \tilde0 \\ \tilde0 \\ \tilde0 \\\tilde1\end{pmatrix},\begin{pmatrix} \tilde1\\ \tilde0 \\ \tilde0 \\ \tilde0 \\\tilde0\end{pmatrix}> \end{eqnarray}$ Erstmal die Frage ob dies soweit korrekt ist. Meine Basis von $\begin{eqnarray} V/U \end{eqnarray}$ wäre dann $\begin{eqnarray} V/U=<\begin{pmatrix} \tilde0\\ \tilde1 \\ \tilde0 \\ \tilde0 \\\tilde0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \tilde0\\ \tilde0 \\ \tilde0 \\ \tilde0 \\\tilde1\end{pmatrix},\begin{pmatrix} \tilde1\\ \tilde0 \\ \tilde0 \\ \tilde0 \\\tilde0\end{pmatrix}> \end{eqnarray}$
18.12.2011, 18:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Faktorraum ist nicht ein Teilraum. Lies erst die Definition von V/U und rechne dann.
18.12.2011, 18:47	barracuda317	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Äquivalenzklassen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \tilde0\\ \tilde1 \\ \tilde0 \\ \tilde0 \\\tilde0\end{pmatrix}+U, \begin{pmatrix} \tilde0\\ \tilde0 \\ \tilde0 \\ \tilde0 \\\tilde1\end{pmatrix}+U,\begin{pmatrix} \tilde1\\ \tilde0 \\ \tilde0 \\ \tilde0 \\\tilde0\end{pmatrix}+U \end{eqnarray}$ bilden die Basis des Faktorraums. Meinst du das? Ansonsten bräuchte ich mal einen Tipp.
19.12.2011, 17:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Passt.

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