In F2 für eine Funktion eine Matrix angeben

18.12.2011, 20:49

CD M

In F2 für eine Funktion eine Matrix angeben

Meine Frage:
Ich habe folgende Aufgabe:

Man betrachte die lineare Abbildung
$\begin{eqnarray*} f : F^{4}_2 -> F^{4}_2 \begin{pmatrix} w \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} w+x \\ w+x+y \\ x+y+z \\ x+z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Geben Sie eine Matrix
$\begin{eqnarray*} A\in F^{4,4}_2 \end{eqnarray*}$ an, so dass $\begin{eqnarray*} A \begin{pmatrix} w \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} = f( \begin{pmatrix} w \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} w \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in F^{4}_2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
F_2 könnte den binären Körper meinen ({0,1}).
Um eine Matrix zu erstellen muss man doch die gegebene Basis aus dem Ausgangskörper in die Funktion geben und die gegebene Basis des Zielkörpers dann durch Linearkombination auf das Ergebnis umformen.

Aber die gegebene Basis "2" ist mir hier keine Hilfe. Ich bräuchte nach meinem Wissen eine Menge von Vektoren (die hier scheinbar die Werte 0 und 1 annehmen können und jeweils aus 4 Werten bestehen).

Wie geht man hier ohne gegebene Basis-Vektoren vor?

18.12.2011, 20:59

Mulder

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RE: In F2 für eine Funktion eine Matrix angeben
Nimm doch einfach die kanonische Basis. Irgendeine Basis brauchst du, wenn du eine Abbildungsmatrix aufstellen willst und mit der kanonischen Basis musst du bloß die Bilder der Basisvektoren als Spalten in eine Matrix schreiben.

Oder ist in der Aufgabenstellung noch irgendetwas anderes gefordert?

19.12.2011, 15:24

CD M

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RE: In F2 für eine Funktion eine Matrix angeben
also kann ich die Standartbasis/kanonische basis immer einsetzen?
(es sei denn ich soll eine Matrix bezüglich einer gegebenen Basis angeben)

danke für die Hilfe

19.12.2011, 15:47

CD M

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RE: In F2 für eine Funktion eine Matrix angeben
Die zweite Teilaufgabe lautet: "Bestimmen Sie eine Basis von Im(f)"

Ich habe durch verwendung der kanonischen Basis folgende Matrix aus der ersten Teilaufgabe erhalten:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Gehe ich richtig in der Annahme, dass diese Matrix Im(f) darstellt?

Was genau wäre dann hier die Basis?

Einfach die ersten drei Spalten?
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

19.12.2011, 16:06

Mulder

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RE: In F2 für eine Funktion eine Matrix angeben

Zitat:

Original von CD M
Ich habe durch verwendung der kanonischen Basis folgende Matrix aus der ersten Teilaufgabe erhalten:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Hast du denn auch mal die Probe gemacht, ob das überhaupt hinhaut? Das solltest du mal tun.

Die Basis des Bildes könnte man anhand der linear unabhängigen Spalten der Abbildungsmatrix ermitteln.

19.12.2011, 17:49

CD M

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RE: In F2 für eine Funktion eine Matrix angeben
Die obige Matrix habe ich erhalten durch einsetzen der Vektoren der kanonischen Basis
{ (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1) } in die Funktion und anschließende Transformation
(IV+III, II+III, III+I, III+II, II+I, IV+III).

Zitat:

Hast du denn auch mal die Probe gemacht, ob das überhaupt hinhaut? Das solltest du mal tun.

Wie mache ich hier die Probe?

Die Spalten 1,2 und 3 sind linear unabhängig, ist dim(Im(f))=3? wo doch der Körper "hoch 4" war?

Ist die Basis dann, wie obenn genannt, die Menge der drei Vektoren?

19.12.2011, 18:17

Mulder

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RE: In F2 für eine Funktion eine Matrix angeben

Zitat:

Original von CD M
Die obige Matrix habe ich erhalten durch einsetzen der Vektoren der kanonischen Basis
{ (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1) } in die Funktion und anschließende Transformation
(IV+III, II+III, III+I, III+II, II+I, IV+III).

Wozu die Transformationen?

Schreib mal die Matrix hin, die du vor dem Transformieren hattest. Das ist deine Abbildungsmatrix und sonst nichts. Und mit Probe meine ich, dass du diese Matrix dann mal mit dem Vektor (w,x,y,z) multiplizierst, um zu sehen, ob auch wirklich der Bildvektor rauskommt.

20.12.2011, 00:27

CD M

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RE: In F2 für eine Funktion eine Matrix angeben
die AbbildungsMatrix die ich erhalte, sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich die mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} w \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ multipliziere erhalte ich doch:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} w*1 + w*1 + w*0 + w*0 \\ x*1 + x*1 + x*1 + x*0 \\ y*0 + y*1 + y*1 + y*1 \\ z*0 + z*1 + z*0 + z*1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das entspricht auch wieder dem geforderten Bildvektor

$\begin{eqnarray*} f : F^{4}_2 -> F^{4}_2 \begin{pmatrix} w \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} w+x \\ w+x+y \\ x+y+z \\ x+z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das müsste also stimmen!?

Mein Problem ist nur, dass die zweite Teilaufgabe jetzt eine Basis von Im(f) verlangt.
Desshalb hatte ich die Transformation durchgeführt.
Was ist denn der schnellste (und sichere) Weg, aus einer Matrix eine Basis abzuleiten?

20.12.2011, 13:01

CD M

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RE: In F2 für eine Funktion eine Matrix angeben
Ich meinte natürlich, dass die Probe Folgendes ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} w*1 + x*1 + y*0 + z*0 \\ w*1 + x*1 + y*1 + z*0 \\ w*0 + x*1 + y*1 + z*1 \\ w*0 + x*1 + y*0 + z*1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.12.2011, 13:14

Mulder

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RE: In F2 für eine Funktion eine Matrix angeben

Zitat:

Original von CD M
Was ist denn der schnellste (und sichere) Weg, aus einer Matrix eine Basis abzuleiten?

Dazu habe ich ja oben schon etwas gesagt. Schau dir die Spalten deiner Abbildungsmatrix an. Diese entsprechen ja den Bildern der Basisvektoren des Urbildvektorraums. Nach Definition einer linearen Abbildung bilden die Bilder der Basisvektoren (in diesem Fall die Spalten deiner Matrix) ein Erzeugendensystem des Bildes.

Und wenn du schon ein Erzeugendensystem hast, kannst du daraus doch auch schnell eine Basis gewinnen.

20.12.2011, 21:04

CD M

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RE: In F2 für eine Funktion eine Matrix angeben

Zitat:

Und wenn du schon ein Erzeugendensystem hast, kannst du daraus doch auch schnell eine Basis gewinnen.

Genau das ist meine Frage, wie gewinne ich denn aus dieser Matrix am besten eine Basis?

Theoretisch ist es ja einfach: "Alle linear unabhängigen Vektoren (hier Spalten) isolieren; diese bilden dann die Basis".

Aber wie mache ich das konkret, aus einer Matrix? (Nicht nur in diesem Beispiel, sondern allgemein.)

20.12.2011, 21:15

Mulder

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RE: In F2 für eine Funktion eine Matrix angeben
Wenn die Definition von linearer Unabhängigkeit bekannt ist, kannst du hier allein schon durch Hingucken sofort einen Vektor rauswerfen.

Ansonsten ist generell einfach auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen. Das ist doch mit das erste, was man lernt, das wirst du doch können?

20.12.2011, 22:48

CD M

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RE: In F2 für eine Funktion eine Matrix angeben

Zitat:

Ansonsten ist generell einfach auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen. Das ist doch mit das erste, was man lernt, das wirst du doch können?

Lineare Unabhängigkeit herrscht, wenn der Nullvektor nur durch Linearkombination der gegebenen Vektoren erreicht werden kann, wenn die Skalare =0 gesetzt werden (triviale Lösung).

Das Vorgehen, um lineare Unabhängigkeit zu beweisen oder zu widerlegen, ist mir bekannt. Ich kann auch in dem hier gegebenen Beispiel den linear abhängigen Vektor (2. Spalte) erkennen.
In diesem Fall ist also eine Basis $\begin{eqnarray*} B=( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

Ich kenne aber keine Möglichkeit in einem weniger trivialen Fall die Basis durch systematisches Vorgehen aus einer Matrix zu erhalten.
(P.S.: Google habe ich schon genutzt, ich finde aber keine (verständlich erklärte) systematische Vorgehensweise)

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