Ideale & Primideale

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Shini Auf diesen Beitrag antworten »
Ideale & Primideale
Hallo zusammen

ich habe eine Bitte. Kann mir bitte jemand anhand eines einfachen Bsp zeigen, wie man Ideale bildet? Bzw woher man dann so genau weiß, was alles in dem Ideal liegt? Wie man auf Elemente kommt, die ein Ideal erzeugen? Und bitte keine Theorie. Davon hab ich reichlich... nur leider kann ich mir darunter nur wenig vorstellen.

Außerdem kann ich mit der Definition von Primidealen nichts anfangen. Vielleicht kann mir hier auch jemand anhand eines Bsp zeigen, wie ich diese finde bzw wenn ich eins hab, wie ich prüfe, ob es ein Primideal ist.

Dazu noch eine weitere Frage. Wenn ich ein maximales Ideal habe. Wann genau ist dies dann ein Primideal? Also welche Voraussetzungen sind an den Ring zu stellen? Ist es richtig: Wenn der Ring kommutativ und unitär ist und ich kenne ein maximales Ideal, dass dieses dann ein Primideal ist?

Ich wäre sehr dankbar für Eure Hilfe.

LG Shini
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale & Primideale
hallo shini,
da hast du ja viele fragen, also fangen wir mal an.
Am besten kann man das am ring der ganzen zahlen, also Z erklären.
Ideale von Z sind zum beispiel 2Z, 3Z und 6Z, weil in diesen mengen alle bedingungen, die an ein ideal gestellt sind, zutreffen. Allerdings sind 2Z und
3Z primideale, 6Z dagegen nicht, das liegt daran, wenn man ein element aus
2Z oder 3Z als produkt aus elementen aus dem ursprünglichen ring schreibt,
mindestens ein faktor aus dem ideal seinmuss, das trifft bei 2Z und 3Z zu,
bei 6Z nicht, denn man kann ja 6= 2*3 sagen, 6 befindet sich in 6Z, 2 und 3 dagegen nicht.
Und dein letzter satz ist glaube ich richtig.
gruss ollie3
 
 
Shini Auf diesen Beitrag antworten »

Danke ollie3 für die Antwort

gehe ich nun recht in der annahme, dass Z nur (2) und (3) als Primideale hat? Oder gibt es auch noch andere? Also ich vermute, es gibt noch weitere. Kann man diese berechnen? Oder muss man das dann wissen?

Weil also in kommutativen, unitären Ringen ja die maximalen Ideale = Primideale sind, hast du es mit Z ja recht gut getroffen. Hier kannte ich die maximalen Ideale. Augenzwinkern
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemein ist ein Primideal, wenn prim ist.
Shini Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt. das hatten wir wohl mal gezeigt, dass das alles maximale Ideale sind, wenn n prim ist. ach mist. ok

Das macht mir jetzt noch immer nicht wirklich klar, wie man Ideale bestimmt, wenn ich sie nicht kenne. also maximale, bzw primideale.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Im Allgemeinen macht man das durch Überlegung, aber generell wird man sie gar nicht präzise angeben können.

In Hauptidealringen muss man dazu z.B. nur die irreduziblen Elemente bestimmen, was aber bekanntlich keine triviale Aufgabe ist.
Shini Auf diesen Beitrag antworten »

ja das mit den irreduziblen und assoziierten Elementen ist mir noch nicht so ganz klar. auch nicht das mit den primelementen. Na gut. dann trotzdem danke für eure Antworten.

LG Shini smile
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