Zwischenkörper und Teiler eines Polynoms.

19.12.2011, 18:46

mathinitus

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Zwischenkörper und Teiler eines Polynoms.

Hallo es geht mir um die Aufgabe 7(ii) auf der Seite 122 im Bosch.

Für die, die keinen Bosch zur Hand haben:
Wir wissen, L=K(a) ist einfache Körpererweiterung von K und f das Minimalpolynom von a. Nun soll die Menge der Zwischenkörper (also die zwischen K und L) mit einer Teilmenge der Teiler f in L[X] identifiziert werden.

Leider fällt mir nicht ein, wie man das geschickt machen kann.

Ich habe mir dazu überlegt:
Da die Erweiterung nicht normal sein muss, kann es auch passieren, dass f nicht in Linearfaktoren zerfällt. In L[X] kann man mit Sicherheit (X-a) abspalten, aber das kann durchaus schon alles sein. Ist L ein echter Oberkörper von K, gibt es also min. vier Teiler von f, nämlich {1,f,(X-a),f/(X-a)}.
Da ich aber überhaupt nicht weiß, wie diese Zuordnung laufen soll, weiß ich nicht, wem ich was zuordnen soll. Intuitiv wäre die Zuordnung L->f und K->1 ganz nett (die würde auch im Falle L=K keine Probleme machen), aber was mach ich nun mit echten Zwischenkörpern?

19.12.2011, 23:38

galoisseinbruder

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Betrachte zu einem Zwischenkörper M des Minimalpolynom von a über M.

19.12.2011, 23:50

mathinitus

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Zitat:

Original von galoisseinbruder
Betrachte zu einem Zwischenkörper M des Minimalpolynom von a über M.

Ah, danke. Das ist erstmal eine gute Idee. Dass dieses Minimalpolynom nun Teiler von f ist, ist auch sehr leicht zu zeigen. Aber ich komme nicht drauf, wie man zeigen könnte, dass zwei Zwischenkörper M1 und M2 bei gleichem Minimalpolynom schon identisch sein müssen.

19.12.2011, 23:54

galoisseinbruder

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Seien $\begin{eqnarray*} b_0, \ldots, b_n \end{eqnarray*}$ die Koeffizienten des Minimalpolynoms von a über M.
Zeige: $\begin{eqnarray*} M=K(b_0 , \ldots , b_n) \end{eqnarray*}$
Eine Inklusion ist klar, die andere folgt aus Gradgründen.

20.12.2011, 00:08

mathinitus

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Also klar ist natürlich, dass $\begin{eqnarray*} M \supset K(b_0 , \ldots , b_n) \end{eqnarray*}$ . Das Minimalpolynoms von a über M hat hier ja den Grad n. Hat das Minimalpolynoms von a über K den Grad m, dann gilt wegen dem Gradsatz, dass n Teiler von m ist. Aber wie folgere ich nun, dass $\begin{eqnarray*} M \subset K(b_0 , \ldots , b_n) \end{eqnarray*}$ gilt?

20.12.2011, 00:12

galoisseinbruder

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Nennen wir das Min.pol. von a über M f.
Was kannst Du über $\begin{eqnarray*} f\in K(b_0 , \ldots , b_n)[X] \end{eqnarray*}$ sagen?

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20.12.2011, 00:16

mathinitus

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Es ist irreduzibel, hat Grad n...

20.12.2011, 00:18

galoisseinbruder

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Ja. Jetzt bringen wir noch a ins Spiel...

20.12.2011, 00:23

mathinitus

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Zitat:

Original von galoisseinbruder
Ja. Jetzt bringen wir noch a ins Spiel...

Wir wissen natürlich auch:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n b_ia^i=0=f(a) \end{eqnarray*}$

20.12.2011, 00:27

galoisseinbruder

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Auf gut deutsch: a ist Nst eines iired. Polynoms $\begin{eqnarray*} f\in K(b_0 , \ldots , b_n)[X] \end{eqnarray*}$ . Was sagt das aus über $\begin{eqnarray*} [L: K(b_0 , \ldots , b_n)] \end{eqnarray*}$ ?
(Vielleicht ist dir nicht klar was $\begin{eqnarray*} K(b_0 , \ldots , b_n)(a) \end{eqnarray*}$ ist. )

20.12.2011, 00:35

mathinitus

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Zitat:

Original von galoisseinbruder
Auf gut deutsch: a ist Nst eines iired. Polynoms $\begin{eqnarray*} f\in K(b_0 , \ldots , b_n)[X] \end{eqnarray*}$ . Was sagt das aus über $\begin{eqnarray*} [L: K(b_0 , \ldots , b_n)] \end{eqnarray*}$ ?
(Vielleicht ist dir nicht klar was $\begin{eqnarray*} K(b_0 , \ldots , b_n)(a) \end{eqnarray*}$ ist. )

Also ich weiß schon, dass $\begin{eqnarray*} K(b_0 , \ldots , b_n)(a)=L \end{eqnarray*}$ , da bereits $\begin{eqnarray*} K(a)=L \end{eqnarray*}$ .
Folglich ist $\begin{eqnarray*} [L: K(b_0 , \ldots , b_n)] =n \end{eqnarray*}$ .

20.12.2011, 00:39

galoisseinbruder

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Und damit steht alles da.

20.12.2011, 00:41

mathinitus

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Ich sehe noch nicht ganz, warum $\begin{eqnarray*} M \subset K(b_0 , \ldots , b_n) \end{eqnarray*}$ nun folgt.

PS: Vielen Dank für die Mühe, die du dir machst.

20.12.2011, 00:43

galoisseinbruder

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Wahrscheinlich ist es schon zu spät: [L:M]=?

20.12.2011, 00:53

mathinitus

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Zitat:

Original von galoisseinbruder
Wahrscheinlich ist es schon zu spät: [L:M]=?

Ich glaube auch^^

[L:M]=n, da M(a)=L und das Minimalpolynom von a über M den Grad n hatte Wink

Wink

Trauen wir uns noch zu guter Letzt an (iii)?

Hier gehen wir davon aus, L/K habe nur endlich viele Zwischenkörper und wollen zeigen, dass für L=K(a,b) ein c aus K existiert, so dass K(a+cb)=L. So interpretiere ich mal die Aufgabenstellung aus dem Bosch Wink

Wink

K(a+cb) ist natürlich Zwischenkörper. Da es nur endlich viele gibt und wir K durchaus als unendlich annehmen können (den endlichen Fall haben wir in (i) geklärt), kommt bei K(a+cb) für unendlich viele c der gleiche Zwischenkörper raus, aber hilft uns das?

20.12.2011, 01:03

galoisseinbruder

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Bei der (iii) hast du alles wesentliche schon aufgeschrieben.
Beachte dass du K unendlich ausnutzt (was ja dank (i) geht.)

Zitat:

aber hilft uns das?

Ja, das ist die wesentliche Beweisidee. Wird vielleicht klarer falls du die ersten c mit natürlichen Zahlen durchnummerierst.

20.12.2011, 01:15

mathinitus

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Wir können also eine Folge $\begin{eqnarray*} (c_n)_n \end{eqnarray*}$ paarweise verschiedener c finden, so dass $\begin{eqnarray*} K(a+c_nb) \end{eqnarray*}$ für alle n den gleichen Körper ergibt.

20.12.2011, 01:19

galoisseinbruder

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Es reichen zwei.

Und ich geh jetzt schlafen. Gute Nacht.

20.12.2011, 01:20

mathinitus

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Zitat:

Original von galoisseinbruder
Es reichen zwei.

Und ich geh jetzt schlafen. Gute Nacht.

Dann bedanke ich mich recht herzlich und versuche den Rest alleine. Du hast mir wirklich sehr geholfen.

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