Mengenlehre Würfel |
| 19.12.2011, 21:20 | KingWarrior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Mengenlehre Würfel folgendes Problem: Ein Würfel wird 3mal geworfen. B sei das Ereignis, dass die Summe aller Würfe ungerade ist. Wie kann man nun die Anzahl der Ereignisse ausrechnen? Gibts da einen mathematischen Hintergrund? Ich will ja nicht alle Möglichkeiten aufschreiben und dann zählen. Danke schonmal für die Hilfe! |
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| 19.12.2011, 23:48 | chili_12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Alle Möglichkeiten aufschreiben? Es gibt doch nur zwei, die ein ungerades Ergebnis erzeugen entweder {G,G,U} (G="Gerade Zahl") oder {U,U,U}. Bedenke, dass das ungeordnete Mengen sind. Wieviele Möglichkeiten gibt es G,G,U anzuordnen? Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E: "Genau zweimal Zahl oder drei mal Wappen" (in drei Würfen) ist übrigens gleich der gesuchten Wsk. mfg |
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| 19.12.2011, 23:57 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Mengenlehre Würfel
Beim gleichzeitigen Würfeln von 3 Würfeln gibt es ja "nur" 56 Ergebnisse. Macht man sich jetzt ernsthaft an die Arbeit, lernt evtl. schnell, ob es eine Formel gibt. Alleine diese Tätigkeit bringt viel mehr für das Verständnis des Problems wie eine fertige Formel, die ich nun auch nicht parat hätte. Also: learning by doing.. |
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| 20.12.2011, 00:06 | chili_12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Mengenlehre Würfel
Naja aber doch nicht wenn es nur um Gerade/Ungerade Ergebnisse geht. Hier gibt es nur zwei Äquivalenzklassen (4~6~8... bzw 3~5~7...) Und damit eben sehr viel weniger Mögliche Ereignisse nämlich vier. 1. Keine Gerade Zahl ... 4. Genau drei gerade Zahlen |
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| 20.12.2011, 00:07 | chili_12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich meinte (2~4~6 bzw 1~3~5) |
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| 20.12.2011, 00:28 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
mit 56 Ergebnissen meinte ich selbstredend die Anzahl die ohne Einschränkung in den Würfelring geworfen wird. Deine Aufgabe ist nun, diese 56 Elementarereignisse in 2 Klassen einzuteilen: 1.) Die Teilmenge bei der gilt: Summe der Augenzahlen = gerade 2.) das Gegenteil von 1.) , die Restmenge. Einfaches Abzählen genügt dann. Und als highlight dann noch obendrauf eine Formel zu erstellen. Du kannst aber auch gleich mit der Formel einsteigen, diese aber dann begründen... |
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| 20.12.2011, 08:02 | KingWarrior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gibt es nicht 6^3 Möglichkeiten, wie die Würfel fallen können? Also die Mächtigkeit wäre meiner Meinung nach 216. |
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| 20.12.2011, 10:41 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn man auf einen Laplaceschen Grundraum (= gleichwahrscheinliche Elementarereignisse) hinauswill, dann sind es tatsächlich insgesamt Wurfergebnisse. Bei der Betrachtung von Dopap bleibt die Reihenfolge der 3 Würfe unberrücksichtigt. Ist bei Anzahlberechnungen als Modell auch denkbar, führt aber i.d.R. zu falschen Wahrscheinlichkeitsberechnungen, wenn man das dann irrtümlicherweise auch als Laplaceschen Grundraum annimmt - was er nicht ist. So ist z.B. Wurfergebnis 1,2,3 sechsmal so wahrscheinlich wie Wurfergebnis 1,1,1 usw. |
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| 20.12.2011, 18:07 | KingWarrior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bis jetzt mussten wir das immer unter Berücksichtigung der möglichen Reihenfolge angeben, z.B. (1,2,3), (1,3,2) usw. . Wir wollen ja keine Wahrscheinlichkeiten betrachten, sondern die Anzahl der möglichen Ereignisse. |
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| 20.12.2011, 19:00 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
schon klar, dass meine 56 Mengen-ergebnisse nicht für Wkt taugen. Will man die "Anzahl" wissen, dann ist als Grundlage die Gesamtanzahl aller Tupel = 216 erste Wahl. Am Ende ist die Berechnung der Wkt's kein Problem. Auf diese Weise bestimmt man auch die Wkt's für ein Pokerblatt... Die Wkt' für U liegt nach 8200 Runden Simulation bei 49,5%. Das sieht aber nach fifty-fifty aus. Demnach wären 108 Tupel der Sorte U und 108 Tupel der Sorte G anzunehmen. Jetzt könnte man doch das 108 "Ergebnis" lapidar damit begründen, dass aus Symmetriegründen die Anzahl 108:108 ist (?) Ich seh' jetzt gerade keinen schnellen Weg, die 108 von den 216 zu berechnen. ----------------------------------------------------------------------- Denke, hier sind René Gruber, Hal9000 ... und der Moderator gefordert 
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| 21.12.2011, 00:33 | chili_12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, die Wsk beträgt 0,5. Dies wird sofort klar wenn man mal meinen Ansatz betrachtet. Da 3x Gerade genauso wahrscheinlich ist wie 3x Ungerade (=keinmal Gerade) nämlich 1/8. Und 2x Gerade genauso wahrscheinlich ist wie 2x Ungerade (=1x Gerade) mit 3/8 (es gibt drei Möglichkeiten G,G,U anzuordnen). Man kann sich das aber auch mit den Zahlen erklären wenn man sich die arbeit machen möchte. P(18)=P(3) P(17)=P(4) ... P(11)=P(10) ^^ jeweils ist eine Gerade und eine Ungerade Wsk gleich mfg |
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| 21.12.2011, 15:44 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, hier war ja eigentlich nach Anzahlen statt Wahrscheinlichkeiten gefragt.
Falls es doch um Wahrscheinlichkeiten geht, gibt es übrigens folgenden interessanten Effekt zu beobachten:
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| 21.12.2011, 18:42 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@HAL9000: ist das gleichzusetzen mit: In A-town verbreitet sich ein Gerücht. In A-town gibt es aber auch eine nicht unerhebliche Menge an notorischen Lügnern, die immer Alles negieren. Ein Fremder kommt in die Stadt. Wie gross ist die WKT, dass er die Wahrheit erfährt? |
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| 21.12.2011, 19:45 | KingWarrior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke , aber nochmal: Es sind KEINE Wahrscheinlichkeiten gesucht! Es geht nur um die MENGEN! Wir haben das Thema Mengenlehre. Z.B. : 2 Würfel werden geworfen: Bestimmen Sie die Menge A der Ereignisse , dass die Summe der Würfelaugen kleiner 5 ist sowie die Mächtigkeit von A: Lösung: A= { (1,1) , (1,2) , (2,1) , (1,3) , (3,1) } I A I =5 So soll das sein . |
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| 21.12.2011, 19:54 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
darüber waren wir uns schon einig. Du kannst die 216 möglichen Ergebnisse anschreiben und dann abzählen... Wie man das aber Abkürzen könnte, ist meiner Meinung nach noch kein konkreter Vorschlag in Sicht... |
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| 21.12.2011, 20:19 | chili_12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oop ja, dass es nur um die Anzahl geht habe ich tatsächlich überlesen. Meinen Ansatz kann man trotzdem leicht retten, da man aus der Wsk auch auf die Anzahl schliessen kann. Aus folgt und mit folgt . mfg |
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| 21.12.2011, 20:25 | chili_12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das wird sofort klar, wenn man erkennt, dass es unabhängig von der Summe der übrigen (evtl.) gezinkten Würfel ist ob ein gerades oder ungerades Ergebnis rauskommt. Ist aber trotzdem witzig mfg |
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| 21.12.2011, 23:44 | KingWarrior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nach deiner Erklärung würde ich aber sagen , dass bei 3 Würfelwürfen die Anzahl, dass die Summe der Zahlen eine Ungerade Zahl wird, 72 Ereignisse entspricht. Denn Ich habe doch jetzt eine Wahrscheinlichkeit von 1/3 für jedes (U,G,G,) , (GGU), GUG) Ereignis, oder? |
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| 22.12.2011, 02:11 | chili_12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie kommst du auf 1/3? Die Wsk für (G,U,G), (U,G,G) und (G,G,U) beträgt jeweils 1/8. Zusammen also 3/8. Dazu kommt aber noch (U,U,U) was ein weiteres achtel zusteuert. Insgesamt also 1/2. Die Schlussfolgerung vom obigen Post funktioniert übrigens nur bei einer Gleichverteilung. Aber das ist ja bei den 216 Möglichkeiten der Fall. mfg |
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| 22.12.2011, 19:36 | KingWarrior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Unser Dozent hat uns heute gesagt, dass wir die Mengen für solche komplexen Zusammenhänge mit einem Baumdiagramm machen sollen und die Pfade zählen sollen.... Das dauert sehr lange... |
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| 22.12.2011, 20:45 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
na super! Nach gefühlten 65 Beiträgen nun das! Mit einem Baumdiagramm lässt sich jedes kombinatorische Problem lösen. Es ist ja nur die Frage ob der Papiervorrat reicht
Dann wünsch ich noch schöne Weihnachten untern Baum (- diagramm) 
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