Spur und Determinante eines Endomorphismus

20.12.2011, 13:49

bernd123

Spur und Determinante eines Endomorphismus

Meine Frage:
Hallo,

gegeben ist folgende Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} K=\mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E=\mathbb Q (\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} \alpha = a + b \sqrt{2} \in E \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ) sei $\begin{eqnarray*} \alpha_E \end{eqnarray*}$ der durch $\begin{eqnarray*} \alpha_E(x) = \alpha x \end{eqnarray*}$ definierte Endomorphismus des K-Vektorraums E. Berechne die Spur und die Determinante von $\begin{eqnarray*} \alpha_E \end{eqnarray*}$ . Führe gleiches für $\begin{eqnarray*} E=\mathbb Q (i) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i=\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ durch.

Meine Ideen:
Sei f ein End. und A die Koord.matrix, dann gilt ja Spur(A)=Spur(f) sowie det(A)=det(f).

Das heißt, wir müssen erst eine Koordinatenmatrix suchen. Dazu haben wir $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gefunden. Dann wäre ja aber $\begin{eqnarray*} Spur(\alpha_E)=2\alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} det(\alpha_E)=\alpha^2 \end{eqnarray*}$ d.h. unabhängig von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ .

20.12.2011, 14:02

galoisseinbruder

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Hallo,

ihr habt was wesentliches in der Aufgabenstellung überlesen/ignoriert:

Zitat:

Endomorphismus des K-Vektorraums E

Die gefundene Matrix erfüllt das i.A. nicht.

20.12.2011, 14:14

bernd123

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Und wie sieht die Matrix dann aus?

Kann man von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ \sqrt{2}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Basis ausgehen?

20.12.2011, 14:18

galoisseinbruder

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Jein. Du meinst wohl das richtige, die Schreibweise ist aber ziemlich unsinnig.

20.12.2011, 14:25

bernd123

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Reicht nur zu sagen, dass $\begin{eqnarray*} (1, \sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q (\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ist?

20.12.2011, 14:28

galoisseinbruder

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Das ist im Gegensatz zum vorigen korrekt. (wobei man präziser von einer $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -Basis sprechen sollte)
Und damit sollte auch die Matrix klar sein.

20.12.2011, 15:13

bernd123

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Also sei $\begin{eqnarray*} v_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q (\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ . Dann habe ich:
$\begin{eqnarray*} \alpha_E(v_1) = \alpha * 1 = a + b \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha_E(v_2) = \alpha * \sqrt{2} = 2b + a \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Das ergibt nun folgende 2x2 Matrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 2b \\ b & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit korrekt?

20.12.2011, 15:41

galoisseinbruder

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Kein Einwand. Freude

21.12.2011, 17:19

muxi

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kann mir bitte jemand erklären, wie man auf die basis (1, $\begin{eqnarray*} v_2=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ) kommt.

21.12.2011, 17:58

galoisseinbruder

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Gegenfrage: Wie kann man nicht sehen, dass $\begin{eqnarray*} 1,\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q (\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ist?

21.12.2011, 18:23

bernd123

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Kurze Frage noch.

Wie zeige ich die lineare Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} 1, \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ? In der anderen Notation wärs kein Problem, aber so ... ?

21.12.2011, 18:27

galoisseinbruder

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Wie bereits angerissen kannst du das in der anderen Notation gar nicht zeigen, denn die andere Notation ist schlicht falsch.
Die lin. unabh. von $\begin{eqnarray*} 1, \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ zeigt man mittels der Def. unter zu Hilfenahme von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \notin \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

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