Irreduzibilität von Polynom in zwei Variablen

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Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzibilität von Polynom in zwei Variablen
Hallo zusammen,

kurz vor der Weihnachtszeit beschäftigt mich noch ein Problem, das ich ungern mit in die Feiertage nehmen würde.

Folgende Situation ist gegeben:

Sei der Körper der rationalen Funktionen in einer Unbestimmten über und sei f das Polynom in .

Ist irreduzibel im Ring ?



Bisher habe ich folgendes versucht:

Eisenstein direkt anwenden klappt nicht.

Nullstellen suchen bietet sich wohl auch nicht an.

Über einen Faktorring zu gehen klappt denke ich auch nicht (zumindest sehe ich nicht wie).

Habe bis jetzt aber schon bemerkt, dass

Da wir ein ähnlich aussehendes Problem in der Uni hatten (n-tes Kreisteilungspolynom), dachte ich mir ich versuche es mit einer Substitution, das hat aber bis jetzt leider auch keine wirklichen Früchte getragen, da ich die richtige Substitution im richtigen Polynomring nicht gefunden habe.

Eventuell muss man einen Trick anwenden, den ich jetzt nicht sehe.

Wie auch immer, ich würde mich wirklich über einen (oder mehrere) Hinweise freuen.

Wünsche auch schon mal allen schöne Feiertage smile

Viele Grüße,
Mandelbrötchen
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Was sind denn die Nullstellen dieses Polynoms?
 
 
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine gute Frage, zumindest sind es mal keine trivialen.

Was die Nullstellen sind kann ich dir aber leider spontan nicht sagen - leider.
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry wegen dem Doppelpost, hab das Limit zum Editieren um ne Minute überschritten unglücklich


In Anlehnung an das Kreisteilungspolynom würde ich folgende sagen:

mit


Das heißt mein Polynom hat nur Nullstellen in .

Wer sagt mir aber dann, dass es keinen Teiler vom Grad 2 gibt?

Denn über den Ausschluss von Nullstellen weiß ich ja nur, dass es keine Teiler vom Grad 1 geben kann.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist schon mal richtig. Die Frage, ob f irreduzibel ist, kann man nun auch so stellen: Ist oder kleiner?
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht ganz was du mit der Fragestellung meinst.

Was bezeichnet bei dir und was ist dann ?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine den Körper, der über durch Adjunktion des Elementes entsteht.
Dieser Körper hat ja einen gewissen Grad über was ich mit dem [:] meinte.
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage kann ich dir nicht beantworten.

Sehe gerade, dass das in die Körpererweiterungen gehören könnte, das hatte ich noch nicht bisher.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Noch keine Körpererweiterungen? Achso, davon war ich stillschweigend ausgegangen. Dann muss ich nochmal überlegen, wie man das beweisen könnte und kann dir eventuell erst morgen antworten (oder jemand anders).
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, keine Sache, langsam läuft mein Hirn auch nicht mehr so schnell wie normal smile

Aber trotzdem danke für die Mühe, ich werd mir das dann noch mal ansehen wenn ich Körpererweiterungen hatte und versteh dann hoffentlich, worauf du hinaus möchtest
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist doch noch etwas eingefallen. Wir wissen: Mit das 7. Kreisteilungspolynom gilt
Angenommen wir wissen schon, dass g als Polynom in irreduzibel ist. Dann muss auch irreduzibel sein - warum?
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, angenommen reduzibel in , dann gibt es , s.d.

Daraus würde folgen, dass eine Zerlegung in zwei Elemente ist, die beide keine Einheit sind. Das wäre ein Widerspruch zur Annahme, dass g irreduzibel ist
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Jetzt müsste man also nur noch die Irreduzibilität von g zeigen. (Du weißt, dass g irreduzibel über Q ist ?)
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß, dass g als 7-tes Kreisteilungspolynom irreduzibel in ist. Mehr weiß ich aber nicht.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ist mit und alle vorkommenden Polynome sind oBdA normiert, dann kann man ähnlich wie beim Beweis vom Satz vom Gauß argumentieren (multipliziere die Gleichung mit dem kgV der Nenner der Glieder von und dividiere anschließend durch die ggT der Koeffizienten um rechts primitive Polynome aus zu erhalten), um herauszufinden, dass schon in liegen müssen. Daraus kann man schließen, da der Grad von in X Null ist, dass auch die Grade von in X Null sein müssen, also

edit: Ich gehe jetzt offline, gute Nacht!
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ich denk ich hab den Punkt.

wenn ich dann weiß, dass dann folgt - da ja irreduzibel in - dass entweder oder .

Und da - denn - ist damit irreduzibel in

Richtig?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Freude
Mandelbrötchen Auf diesen Beitrag antworten »

Dann mal vielen Dank smile

Bin mir zwar sicher, dass es eine alternative Lösung gibt, die eventuell näher an dem Stoff ist, den wir zur Zeit behandeln, und vielleicht sogar kürzer ist, aber diese Lösung ist für mich auch verständlich!
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