Irreduzibilität von Polynom in zwei Variablen

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20.12.2011, 20:42	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzibilität von Polynom in zwei Variablen Hallo zusammen, kurz vor der Weihnachtszeit beschäftigt mich noch ein Problem, das ich ungern mit in die Feiertage nehmen würde. Folgende Situation ist gegeben: Sei $\begin{eqnarray} K=\mathbb Q (X) \end{eqnarray}$ der Körper der rationalen Funktionen in einer Unbestimmten über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ und sei f das Polynom $\begin{eqnarray} f(Y)=1+XY+(XY)^2+(XY)^3+(XY)^4+(XY)^5+(XY)^6 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} K[Y] \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ irreduzibel im Ring $\begin{eqnarray} K[Y] \end{eqnarray}$ ? Bisher habe ich folgendes versucht: Eisenstein direkt anwenden klappt nicht. Nullstellen suchen bietet sich wohl auch nicht an. Über einen Faktorring zu gehen klappt denke ich auch nicht (zumindest sehe ich nicht wie). Habe bis jetzt aber schon bemerkt, dass $\begin{eqnarray} (XY-1) \cdot f =(XY)^7-1 \in \mathbb Z[X,Y] \end{eqnarray}$ Da wir ein ähnlich aussehendes Problem in der Uni hatten (n-tes Kreisteilungspolynom), dachte ich mir ich versuche es mit einer Substitution, das hat aber bis jetzt leider auch keine wirklichen Früchte getragen, da ich die richtige Substitution im richtigen Polynomring nicht gefunden habe. Eventuell muss man einen Trick anwenden, den ich jetzt nicht sehe. Wie auch immer, ich würde mich wirklich über einen (oder mehrere) Hinweise freuen. Wünsche auch schon mal allen schöne Feiertage Viele Grüße, Mandelbrötchen
20.12.2011, 21:53	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sind denn die Nullstellen dieses Polynoms?
20.12.2011, 23:23	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eine gute Frage, zumindest sind es mal keine trivialen. Was die Nullstellen sind kann ich dir aber leider spontan nicht sagen - leider.
20.12.2011, 23:42	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry wegen dem Doppelpost, hab das Limit zum Editieren um ne Minute überschritten In Anlehnung an das Kreisteilungspolynom würde ich folgende sagen: $\begin{eqnarray} Y_k=\frac{1}{X} \cdot e^{i \cdot \frac{2k \pi}{7}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k=1,2,3,4,5,6 \end{eqnarray}$ Das heißt mein Polynom hat nur Nullstellen in $\begin{eqnarray} \mathbb C (X)-\mathbb Q(X) \end{eqnarray}$ . Wer sagt mir aber dann, dass es keinen Teiler vom Grad 2 gibt? Denn über den Ausschluss von Nullstellen weiß ich ja nur, dass es keine Teiler vom Grad 1 geben kann.
21.12.2011, 00:00	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist schon mal richtig. Die Frage, ob f irreduzibel ist, kann man nun auch so stellen: Ist $\begin{eqnarray} [\mathbb{Q}(X)(\frac{e^{\frac{2i\pi}{7}}}{X}):\mathbb{Q}(X)]=6 \end{eqnarray}$ oder kleiner?
21.12.2011, 00:09	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht ganz was du mit der Fragestellung meinst. Was bezeichnet bei dir $\begin{eqnarray} \mathbb Q(X)(\frac{e^{\frac{2i \pi}{7}}}{X}) \end{eqnarray}$ und was ist dann $\begin{eqnarray} [\mathbb{Q}(X)(\frac{e^{\frac{2i\pi}{7}}}{X}):\mathbb{Q}(X)] \end{eqnarray}$ ?
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21.12.2011, 00:11	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine den Körper, der über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(X) \end{eqnarray}$ durch Adjunktion des Elementes $\begin{eqnarray} Y_1 \end{eqnarray}$ entsteht. Dieser Körper hat ja einen gewissen Grad über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(X) \end{eqnarray}$ was ich mit dem [:] meinte.
21.12.2011, 00:15	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage kann ich dir nicht beantworten. Sehe gerade, dass das in die Körpererweiterungen gehören könnte, das hatte ich noch nicht bisher.
21.12.2011, 00:24	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch keine Körpererweiterungen? Achso, davon war ich stillschweigend ausgegangen. Dann muss ich nochmal überlegen, wie man das beweisen könnte und kann dir eventuell erst morgen antworten (oder jemand anders).
21.12.2011, 00:28	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, keine Sache, langsam läuft mein Hirn auch nicht mehr so schnell wie normal Aber trotzdem danke für die Mühe, ich werd mir das dann noch mal ansehen wenn ich Körpererweiterungen hatte und versteh dann hoffentlich, worauf du hinaus möchtest
21.12.2011, 00:30	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist doch noch etwas eingefallen. Wir wissen: Mit $\begin{eqnarray} g(Y)\in\mathbb{Q}[Y] \end{eqnarray}$ das 7. Kreisteilungspolynom gilt $\begin{eqnarray} g(Y_1\cdot X)=0 \end{eqnarray}$ Angenommen wir wissen schon, dass g als Polynom in $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(X)[Y] \end{eqnarray}$ irreduzibel ist. Dann muss auch $\begin{eqnarray} f(Y)=g(X\cdot Y) \end{eqnarray}$ irreduzibel sein - warum?
21.12.2011, 00:47	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, angenommen $\begin{eqnarray} f(Y) \end{eqnarray}$ reduzibel in $\begin{eqnarray} \mathbb Q(X)[Y] \end{eqnarray}$ , dann gibt es $\begin{eqnarray} a(Y),b(Y) \in \mathbb Q(X)[Y] - [\mathbb Q(X)[Y]]^ \end{eqnarray}$ , s.d. $\begin{eqnarray} f(Y)=g(X \cdot Y)=a(Y) \cdot b(Y) \end{eqnarray}$ Daraus würde folgen, dass $\begin{eqnarray} g(Y)=f(\frac{1}{X}Y)=a(\frac{1}{X}Y) \cdot b(\frac{1}{X}Y) \end{eqnarray*}$ eine Zerlegung in zwei Elemente ist, die beide keine Einheit sind. Das wäre ein Widerspruch zur Annahme, dass g irreduzibel ist
21.12.2011, 00:54	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Jetzt müsste man also nur noch die Irreduzibilität von g zeigen. (Du weißt, dass g irreduzibel über Q ist ?)
21.12.2011, 00:57	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß, dass g als 7-tes Kreisteilungspolynom irreduzibel in $\begin{eqnarray} \mathbb Q[X] \end{eqnarray}$ ist. Mehr weiß ich aber nicht.
21.12.2011, 01:08	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} g(Y)=h_1(Y)h_2(Y) \end{eqnarray}$ ist mit $\begin{eqnarray} h_1,h_2\in\mathbb{Q}(X)[Y] \end{eqnarray}$ und alle vorkommenden Polynome sind oBdA normiert, dann kann man ähnlich wie beim Beweis vom Satz vom Gauß argumentieren (multipliziere die Gleichung mit dem kgV der Nenner der Glieder von $\begin{eqnarray} h_1,h_2 \end{eqnarray}$ und dividiere anschließend durch die ggT der Koeffizienten um rechts primitive Polynome aus $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}[X][Y] \end{eqnarray}$ zu erhalten), um herauszufinden, dass $\begin{eqnarray} h_1,h_2 \end{eqnarray}$ schon in $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}[X][Y] \end{eqnarray}$ liegen müssen. Daraus kann man schließen, da der Grad von $\begin{eqnarray} g(Y) \end{eqnarray}$ in X Null ist, dass auch die Grade von $\begin{eqnarray} h_1,h_2 \end{eqnarray}$ in X Null sein müssen, also $\begin{eqnarray} h_1,h_2\in \mathbb{Q}[Y]. \end{eqnarray}$ edit: Ich gehe jetzt offline, gute Nacht!
21.12.2011, 14:49	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, ich denk ich hab den Punkt. wenn ich dann weiß, dass $\begin{eqnarray} g(Y)=h_1(Y)h_2(Y) \; , \; h_1(Y),h_2(Y) \in \mathbb Q[Y] \end{eqnarray}$ dann folgt - da ja $\begin{eqnarray} g(Y) \end{eqnarray}$ irreduzibel in $\begin{eqnarray} \mathbb Q[Y] \end{eqnarray}$ - dass entweder $\begin{eqnarray} h_1 \in [\mathbb Q[Y]]^ \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} h_2 \in [\mathbb Q[Y]]^* \end{eqnarray}$ . Und da $\begin{eqnarray} [\mathbb Q[Y]]^* \subset [\mathbb Q(X)[Y]]^* \end{eqnarray}$ - denn $\begin{eqnarray} \mathbb Q[Y] \subset \mathbb Q(X)[Y] \end{eqnarray}$ - ist $\begin{eqnarray} g(Y) \end{eqnarray}$ damit irreduzibel in $\begin{eqnarray} \mathbb Q(X)[Y] \end{eqnarray*}$ Richtig?
21.12.2011, 16:14	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig.
21.12.2011, 16:27	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann mal vielen Dank Bin mir zwar sicher, dass es eine alternative Lösung gibt, die eventuell näher an dem Stoff ist, den wir zur Zeit behandeln, und vielleicht sogar kürzer ist, aber diese Lösung ist für mich auch verständlich!

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