Anzahl der Elemente eines endlichen Körpers

21.12.2011, 12:11

Arya

Anzahl der Elemente eines endlichen Körpers

Hallihallo!
Sitze an folgender Aufgabe und komme da leider absolut nicht weiter:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein endlicher Körper mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} g^2=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} g \in G:=K\setminus \lbrace 0\rbrace \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .
Hinweis: Verwenden Sie ohne Beweis, dass $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ zyklisch ist.

Ich denke ich muss hier die Bahnformel verwenden, weiß dann aber noch nicht so ganz wie ich die hier anwenden kann, da mir die Gruppenoperation dazu fehlt. Mit dem Hinweis kann ich leider auch nicht viel anfangen, dass heißt ja eigentlich nur, dass die Gruppe von nur einem Element erzeugt wird...

Wäre echt super wenn mir jemand nen Tipp geben könnte, wie ich am besten an die Aufgabe rangehe. Danke schon mal im Voraus.

21.12.2011, 12:19

tmo

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Welche Ordnung haben denn alle Elemente aus G höchstens? Was ist dann aber los, wenn man auch noch bedenkt, dass G zyklisch ist?

21.12.2011, 12:20

jester.

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Edit: Ich überlasse tmo das Feld mit einem etwas anders gestalteten Tipp.

21.12.2011, 12:26

Arya

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Danke ihr beiden.
Naja das Polynom vom Grad 2 kann auch höchstens 2 Nullstellen haben. Damit weiß ich also dass $\begin{eqnarray*} g^2-1=0 \end{eqnarray*}$ 2 Nullstellen hat. Hat damit $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ die Ordnung 2?
Ich steh da irgendwie total auf dem Schlauch verwirrt

Wie komme ich denn an die Ordnung der Elemente aus $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ? Ich kenne nur die Verwendung der Ordnung als Ordnung einer Gruppe...

21.12.2011, 12:40

tmo

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Du hast es ja schon fast. Wir machen jetzt mal mit dem Ansatz über die Anzahl der Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x^2-1 \end{eqnarray*}$ weiter. Das ist schöner finde ich, da man keine relativ starke Aussage wie "G zyklisch" braucht. Und wenn man diesen Hinweis nicht bekäme, wohl auch die naheliegendste Lösung.

Was wäre denn los, wenn G mehr als 2 Elemente enthält?

PS: Die Lösung ist übrigens nicht eindeutig, es könnten 2 Körper sein.

21.12.2011, 12:47

Arya

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Naja wenn $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ mehr als 2 Elemente enthielte, dann hätte doch auch das Polynom mehr als 2 Nullstellen, was aber nicht möglich ist.
Dann hätte also $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ zwei Elemente und demnach $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ drei, da wir hier ja noch $\begin{eqnarray*} \lbrace 0\rbrace \end{eqnarray*}$ mitbetrachten. War es das schon?

21.12.2011, 12:48

tmo

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Genau. G kann also nicht mehr als 2 Elemente haben.

Aber warum sollte dann sofort folgen, dass G genau 2 Elemente hat? Es gibt durchaus noch eine andere Möglichkeit.

Deshalb hab ich ja geschrieben: Es gibt 2 Körper, die zu der Beschreibung passen.

21.12.2011, 12:52

Arya

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Stimmt es kann ja auch sein, dass mein Polynom nur eine Nullstelle hat. Kann ich denn dann pauschal sagen, wie viele Elemente $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ hat?

21.12.2011, 12:54

tmo

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Ich habe doch schon geschrieben, dass es 2 Körper gibt, die zu der Beschreibung passen.

Welche sind dies denn?

21.12.2011, 12:58

Arya

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Das müsste doch im Falle, dass es nur eine Nullstelle gibt $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ sein, weil ja 1 die Nullstelle ist und wir die 0 noch dazutun und falls wir zwei Nullstellen haben $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray*}$ . Demnach hätte ich einen Körper mit Ordnung 2 und einen mit Ordnung 3.

21.12.2011, 13:31

tmo

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Genau. Wenn du willst kannst du ja noch schnell nachprüfen, dass diese es auch wirklich tun.

21.12.2011, 13:32

Arya

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Wie mache ich das denn genau?

21.12.2011, 14:20

tmo

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Du suchst dir jeweils alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} K \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ raus und guckst einfach ob die erfüllen, was sie erfüllen sollen.

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