Ein Raum ist mit 10 Leuchten

12.01.2007, 13:29

CadLight

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Ein Raum ist mit 10 Leuchten

Bei dieser Aufgabe finde ich leider auch kein Ansatz.

"Ein Raum ist mit 10 Leuchten ausreichend beleuchtet. Die Ausfallwahrscheinlichkeit einer Leuchte zwischen zwei Wartungen beträgt 5%. Wieviel Leuchten müssen Sie mindestens installieren um eine Ausfallwahrscheinlichkeit von unter 1% zwischen zwei Wartungen zu erreichen."

dabei klingt diese Aufgabe so einfach verwirrt

verwirrt

12.01.2007, 16:44

bil

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hi...
X = zv, anzahl der heilen lampen.
gegeben ist hier p=0.05 bzw. p=0.95 (lampe ist heile) und gesucht ist ein n für das gilt:

$\begin{eqnarray*} P(X\leq 9)\leq 0.01 \end{eqnarray*}$

oder alternativ:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 10)\geq 0.99 \end{eqnarray*}$

X ist hier binomialverteilt.

vermutlich sollt ihr es über die normalverteilung approximieren.

das sind jetzt recht wenige tipps, aber vll reicht es ja schon, wenn nicht einfach weiter fragen Augenzwinkern

Augenzwinkern

gruss bil

12.01.2007, 17:47

CadLight

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ich verstehe das einfach nicht.

ich kann das im nächsten Schritt, wenn ich die Gleichung aufstellen möchte, überhaupt nicht anwenden was du mir sagst.

12.01.2007, 18:24

Bjoern1982

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Hallo Dana

Ich hätte hier wohl auch mit Normalverteilung angenähert wie bil es beschrieben hat, jedoch bin ich mir nicht ganz sicher ob das hier eine brauchbare Annäherung ist da ja nicht zwangsweise $\begin{eqnarray*} n\cdot p\cdot q\geq 9 \end{eqnarray*}$ gelten muss...

Prinzipiell würde man dadurch annähern :

$\begin{eqnarray*} P(X\leq k)=\Phi(\frac{k-n\cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot q} }) \end{eqnarray*}$

Man müsst dann in einer Normalverteilungstabelle nachschauen für welches Argument die Wahrscheinlichkeit 0,01 beträgt und dann das ganze nach n auflösen und dann folgern für welches n die Wahrscheinlichkeit höchstens 0,01 beträgt (wegen der Ungleichung).

Aber mal schauen was bil oder Arthur dazu sagen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß Björn

12.01.2007, 20:16

AD

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Ich knüpfe mal an den Beitrag von bil an: Es ist $\begin{eqnarray*} X\sim B(n,0.95) \end{eqnarray*}$ , und du suchst ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 10) \geq 0.99\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Normalverteilung halte ich hier für den falschen Weg: Die Approximation ist für so kleine $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ noch sehr schlecht. Besser ist, auch wenn es vielleicht banal klingt, einfach mal für $\begin{eqnarray*} n=10,11,12,\ldots \end{eqnarray*}$ das Erfülltsein von (*) überprüfen, bis es klappt. Sehr lange muss man da bei dem hohen $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ nun wirklich nicht probieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.01.2007, 21:06

CadLight

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ich verstehe das einfach nicht, ich habe mir gerade noch eine ähnliche Aufgabe rausgesucht, wo gewürfelt wird, da habe ich keine Probleme mit.

Aber diese Aufgabe bereitet mir Kopfschmerzen! Forum Kloppe

Forum Kloppe

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12.01.2007, 21:35

CadLight

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kann es sein das es so geht :

$\begin{eqnarray*} (0,05)^n\leq 1% \Rightarrow n ln(0,05) \leq ln(0,01) \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} n \leq \frac{ln(0,01}{ln(0,05)} = 1,537... \end{eqnarray*}$

diesen Wert nehme ich jetzt mal der Anzahl der bestehenden Lampen und erhalte ca. 15 Lampen.

13.01.2007, 11:48

AD

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Nee, da bist du auf dem völlig falschen Dampfer:

$\begin{eqnarray*} 0.05^n \end{eqnarray*}$ kennzeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass alle Leuchten defekt sind. Was du ausgerechnet hast ist, dass bei mindestens zwei Leuchten die Wk, dass alle Leuchten defekt sind, kleiner als 1% ist - hat wenig mit der Fragestellung zu tun. Die Multiplikation mit 10 hat dann übrigens überhaupt keinen interpretierbaren Sinn mehr. unglücklich

unglücklich

Was ist denn an bils Weg (*) nicht einleuchtend, dass du ihn ablehnst? verwirrt

verwirrt

13.01.2007, 14:40

bil

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vll ist dir ja unklar was P(X>=10) genau bedeutet, mal ausführlicher:

gesucht ist das kleinste n für das gilt:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 10)=\sum_{k=10}^{n}{n\choose k}\cdot 0.95^k\cdot (1-0.95)^{n-k}\geq 0.99 \qquad(*) \end{eqnarray*}$

jetzt musst nur noch arthurs hinweis folgen:

Zitat:

Besser ist, auch wenn es vielleicht banal klingt, einfach mal für $\begin{eqnarray*} n=10,11,12,\ldots \end{eqnarray*}$ das Erfülltsein von (*) überprüfen, bis es klappt. Sehr lange muss man da bei dem hohen $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ nun wirklich nicht probieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.01.2007, 15:25

CadLight

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Hallo,

Leider konnte ich mich nicht weiter mit der Aufgabe beschäftigen, da ich eine Klausur lernen mußte.
Wenn ich mich jetzt aber wieder mit dieser Aufgabe beschäftige, bekomme ich wieder Kopfschmerzen.

ich kann doch nicht, in diese Gleichung:
$\begin{eqnarray*} P(X\geq 10)=\sum_{k=10}^{n}{n\choose k}\cdot 0.95^k\cdot (1-0.95)^{n-k}\geq 0.99 \qquad(*) \end{eqnarray*}$
einfach alles einsetzten was ich gegeben habe, denn da kommt nur Blödsinn raus.
Tut mir Leid, dass ich mich so quer stelle, mir ist auch schon klar das ich hier eine binomialverteilung habe, aber mit der Zuordnung habe ich Probleme.

Gruß Dana

17.01.2007, 15:31

AD

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Für gegebenes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=10}^{n}{n\choose k}\cdot 0.95^k\cdot (1-0.95)^{n-k} \end{eqnarray*}$ eine konkrete Wahrscheinlichkeit, also eine reelle Zahl zwischen 0 und 1. Außerdem ist dieser Wert, als Funktion von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ begriffen, monoton wachsend. Irgendwann wird die Schwelle 0.99 überschritten, und genau dieses $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , wo das passiert, gilt es zu finden.

17.01.2007, 15:47

CadLight

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also dann habe ich für n = 32 einen Wahrscheinlichkeit von 1,03 ...und für n = 31 ein Wert von 0,64. sagt mir das denn jetzt auch das ich 32 Lampen haben muss?

17.01.2007, 15:49

AD

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Grandios verrechnet, würde ich sagen. Wenn alles nichts mehr hilft, dann setzen wir eben ganz konkret ein:

n=10 : $\begin{eqnarray*} P(X\geq 10) = {10\choose 10}\cdot 0.95^{10}\cdot 0.05^0 = 0.95^{10} \end{eqnarray*}$
n=11 : $\begin{eqnarray*} P(X\geq 10) = {11\choose 10}\cdot 0.95^{10}\cdot 0.05^1 + {11\choose 11}\cdot 0.95^{11}\cdot 0.05^0 = 11\cdot 0.95^{10}\cdot 0.05 + 0.95^{11} \end{eqnarray*}$
n=12 : $\begin{eqnarray*} P(X\geq 10) = {12\choose 10}\cdot 0.95^{10}\cdot 0.05^2 + {12\choose 11}\cdot 0.95^{11}\cdot 0.05^1 + {12\choose 12}\cdot 0.95^{12}\cdot 0.05^0 = 66\cdot 0.95^{10}\cdot 0.05^2 + 12\cdot 0.95^{11}\cdot 0.05 + 0.95^{12} \end{eqnarray*}$
...

17.01.2007, 17:03

CadLight

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ja ich habe mein Fehler erkannt, dennoch kann ich nicht nachvollziehen warum hier:
$\begin{eqnarray*} P(X\geq 10) = {11\choose 10}\cdot 0.95^{10}\cdot 0.05^1 + {11\choose 11}\cdot 0.95^{11}\cdot 0.05^0 = 11\cdot 0.95^{10}\cdot 0.05 + 0.95^{11} \end{eqnarray*}$
und in den folgenden Schritt für n=12 die Wahrscheinlichkeiten addiert werden. Aus welcher Grundüberlegung geht das denn hervor?

17.01.2007, 17:11

AD

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Die binomialverteilte Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X\sim B(n,0.95) \end{eqnarray*}$ nimmt ganzzahlige Werte zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ an. Wenn also $\begin{eqnarray*} n=12 \end{eqnarray*}$ ist, sind das die Werte zwischen 0 und 12. In diesem Fall n=12 ist also

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 10) = P(X=10) + P(X=11) + P(X=12) \end{eqnarray*}$

P.S.: Das ist aber hier im Thread eine ganz heftige Blockade. Ich hatte dich letzthin etwas aufgeweckter in Erinnerung.

17.01.2007, 17:17

CadLight

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Bei diesen Aufgaben habe ich große Probleme ...ich hangel mich zu sehr an Aufgaben die ähnlich gestellt sind. Ein richtiges verstehen, kann ich bei mir nicht behaupten. Sorry, ich arbeite dran smile

smile

danke

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