Isomorphismus

23.12.2011, 20:26

Matzemathiker

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Isomorphismus

Hallo

ich habe ein paar Aufgaben und eine Frage im Bezug auf Isomorphismen:

die erste Aufgabe hiesst: Zeige die Isomorphie $\begin{eqnarray*} \left(\mathbb R , +\right) und \left(\mathbb R ^{+}, \cdot \right) \end{eqnarray*}$

hat es was damit zu tun, dass man sagen kann: $\begin{eqnarray*} lnx + lny = ln \left(x \cdot y\right) \end{eqnarray*}$

und warum sind keine zwei der gruppen, $\begin{eqnarray*} D_{100}, S_{100}, \left(\mathbb Z,+ \right),\left(\mathbb Q^{*},\cdot \right) , \left(\mathbb C^{*},\cdot \right) \end{eqnarray*}$ isomorph?

23.12.2011, 21:56

Ibn Batuta

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Ah Mann, der erste Gedanke ist immer der Richtige. Ja, die Abbildung ist ein möglicher Isomorphismus.

Warum sie nicht isomorph sind? Die Antwort ist ziemlich einfach. Weil es keinen Isomorphismus gibt. Das muss man allerdings erstmal zeigen.

Ibn Batuta

23.12.2011, 22:38

jester.

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Noch ein Hinweis: Isomorphismen sind insbesondere bijektive Abbildungen, sie müssen also die Kardinalitäten der zugrundeliegenden Trägermengen erhalten.
Daher ist in jedem Fall klar, dass $\begin{eqnarray*} D_{100} \end{eqnarray*}$ (je nach Bezeichnung 100 oder 200 Elemente) und $\begin{eqnarray*} S_{100} \end{eqnarray*}$ (100! Elemente) nicht isomorph sein können. Gleiches gilt für $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^* \end{eqnarray*}$ (überabzählbar) und $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}^* \end{eqnarray*}$ (beide abzählbar).
Somit ist also nur noch eine Isomorphie auszuschließen.

24.12.2011, 12:55

Matzemathiker

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huuih danke ihr beiden.

aber wie kann ich das zur ersten aufagbe ausführlich rechnerisch zeigen?
und zur zweiten hiesst es also, wenn zwei gruppen nicht gleich viele mengen haben, können sie ja auch nicht bijektiv sein und somit auch nicht isomorph?

24.12.2011, 13:14

Matzemathiker

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ich habe hier eine aufgabe , wobei ich schon einiges gezeigt habe, nur nicht sicher bin ob das richtig ist.

also $\begin{eqnarray*} f: x \rightarrow 2x \end{eqnarray*}$ ist ein Automorphismus der Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{*},\cdot \end{eqnarray*}$

dazu habe ich folgendes:

zu zeigen

I. $\begin{eqnarray*} f(x\cdot y)=f (x)\cdot f(y) \end{eqnarray*}$

II. $\begin{eqnarray*} f(a\cdot x)=a \cdot f (x) \end{eqnarray*}$

24.12.2011, 13:16

Matzemathiker

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UND GANZ NEBENBEI

Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} F R O H E \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} W E I H N A C H T E N \end{eqnarray*}$ Tanzen

Tanzen

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24.12.2011, 13:28

Ibn Batuta

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Gesucht ist ein Isomorphismus von $\begin{eqnarray*} f\colon (\mathbb{R}_{>0},\cdot) \to (\mathbb{R},+) \end{eqnarray*}$ . Nun hast du ja schon eine mögliche Abbildung gefunden. Wähle dir ein $\begin{eqnarray*} x,y\in (\mathbb{R}_{>0},\cdot) \end{eqnarray*}$ und betrachte $\begin{eqnarray*} f(x\cdot y) = ... \end{eqnarray*}$ .

Zu dem Automorphismus. Was hast du da genau versucht?

Ibn Batuta

25.12.2011, 11:13

Matzemathiker

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also meinst du ich soll mir z.b. für x = 1 und y = 2 raus suchen?

dann hätte ich ln (1*2) = ln 1 + ln 2

25.12.2011, 11:29

lgrizu

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Betrachte beliebige x,y, also $\begin{eqnarray*} \log(x \cdot y)=\log(x)+\log(y) \end{eqnarray*}$ . Das ist eine der Homomorphiebedingingungen (ist nach Log Gesetzen auch offenkundig erfüllt), und für Gruppen auch die einzige.

Nun bleibt die Bijektivität dieser Abbildung zu zeigen.

Zu dem Automorphismus $\begin{eqnarray*} f(x)=2x \end{eqnarray*}$ , was für Ideen hast du dazu?

25.12.2011, 13:01

Matzemathiker

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also $\begin{eqnarray*} f (ax) = a f(x)\Rightarrow f(a\cdot lnx) = a\cdot f(lnx) \end{eqnarray*}$

25.12.2011, 13:04

Ibn Batuta

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Was soll denn dein letzter Beitrag sein? verwirrt

verwirrt

Ibn Batuta

25.12.2011, 13:34

Matzemathiker

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ein versuch die bijektivität zu zeigen ?? wahrscheinlich in die hose gegangen verwirrt

verwirrt

25.12.2011, 14:10

lgrizu

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Zitat:

Original von Matzemathiker
ein versuch die bijektivität zu zeigen ?? wahrscheinlich in die hose gegangen verwirrt

verwirrt

Könnte man so sagen. Was bedeutet denn Bijktivität? Das, was du da zeigen wolltest ist eine Linaeritätsbedingung, der log ist aber mit Sicherheit nicht linear.

27.12.2011, 14:00

Matzemathiker

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$\begin{eqnarray*} e^{a+b}=e^{a} \cdot e^{b} \end{eqnarray*}$

27.12.2011, 14:13

Matzemathiker

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die isomorphoie kann der gruppen $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z,+ ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z, \circ ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \circ b := a + b + 1 \end{eqnarray*}$ kann durch $\begin{eqnarray*} f(x): = x -1 \end{eqnarray*}$ bewiesen werden.

hab das so gemacht:

$\begin{eqnarray*} f(ab): = ab -1 = (a+1)+(b+1) - 1 = a + 1 + b + 1 - 1 = a+ b + 1 \end{eqnarray*}$

und damit gezeigt, oder?

27.12.2011, 15:35

Ibn Batuta

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Hoffentlich versteht lgrizu mehr als ich von dem, was du da zeigen möchtest.

Warst du nicht bei dieser Aufgabe? Vgl. oben:

Gesucht ist ein Isomorphismus von $\begin{eqnarray*} f\colon (\mathbb{R}_{>0},\cdot) \to (\mathbb{R},+) \end{eqnarray*}$ . Nun hast du ja schon eine mögliche Abbildung gefunden. Wähle dir ein $\begin{eqnarray*} x,y\in (\mathbb{R}_{>0},\cdot) \end{eqnarray*}$ und betrachte $\begin{eqnarray*} f(x\cdot y) = ... \end{eqnarray*}$ .

Ibn Batuta

27.12.2011, 15:39

lgrizu

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Ich kann nicht einmal folgen, bei welcher Aufgabe sind wir denn gerade? verwirrt

verwirrt

27.12.2011, 15:45

Ibn Batuta

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Ich habe leider keinen blassen Schimmer.

Ibn Batuta

27.12.2011, 15:49

lgrizu

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@ Matzemathiker:

Jetzt mal bitte bei einer Aufgabe bleiben, schreib stets dazu, was du zeigen möchtest und was das mit der Aufgabenstellung zu tun hat.

Das ist wirklich ein völliges Durcheinander, der Zusammenhang zwischen deinen Posts ist nicht nachvollziehbar und gemacht ist, was die Aufgabenstellung angeht noch nichts (außer dem Trivialkram).

Bitte reiß dich zusammen, so habe ich keine Lust zu helfen.

28.12.2011, 00:31

Matzemathiker

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Zitat:

Gesucht ist ein Isomorphismus von $\begin{eqnarray*} f\colon (\mathbb{R}_{>0},\cdot) \to (\mathbb{R},+) \end{eqnarray*}$ . Nun hast du ja schon eine mögliche Abbildung gefunden. Wähle dir ein $\begin{eqnarray*} x,y\in (\mathbb{R}_{>0},\cdot) \end{eqnarray*}$ und betrachte $\begin{eqnarray*} f(x\cdot y) = ... \end{eqnarray*}$ .

Ibn Batuta

sorry männer, ich habe mir wirklich nicht bewusst gemacht , dass es ein wirrwarr wird. geschockt

geschockt

nu nzu der aufgabe im zitat habe ich das raus:
$\begin{eqnarray*} e^{a+b}=e^{a} \cdot e^{b} \end{eqnarray*}$

bleiben wir dann erstmal hier.

noichmals: tut mir echt lid, dass ich zu viel auf einmal gepostet habe und es durcheinander ging

28.12.2011, 09:26

lgrizu

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Ja, das ist die Umkehrfunktion des ln.....

28.12.2011, 10:08

Matzemathiker

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hab ich damit die aufgabe fertig, scheint mir ein wenig zu kurz verwirrt

verwirrt

28.12.2011, 10:24

lgrizu

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Du solltets nicht einfach nur zwei Funktionen hinschreiben, ein wenig Begründung gehört auch dazu.

Warum reicht es denn, die Umkehrfunktion anzugeben?

28.12.2011, 10:25

Matzemathiker

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ok, das ist ja das Kriterium für ein isomorphismus. wir haben die bijektion gezeigt

28.12.2011, 10:29

lgrizu

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Warum?

Wenn eine Abbildung bijektiv ist, so existiert eine Umkehrfunktion, alles gut, was ist aber mit der anderen Richtung?

Wenn eine Umkehrabbildung existiert, dann ist eine Funktion bijektiv, warum ist das so?

Was muss für die Komposition der Abbildungen gelten?

28.12.2011, 11:07

Matzemathiker

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ich verstehe.

es kann einmal eine Gruppe A zu einer anderen Gruppe B isomorph sein, heisst aber dann noch nicht, dass Gruppe B zu Gruppe A isomorph ist, sondern kann erst gezeigt werden wenn ebenfalls die Umkehrfunktion existiert.

28.12.2011, 11:11

lgrizu

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Das ist Blödsinn, wenn zwei Gruppen isomorph zueinander sind, dann in beide Richtungen. Das sollte anhand der Strukturerhaltung des Homomorphismus und der Bijektivität auch klar sein.

Du hast bisher jedoch lediglich eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: (\mathbb R,+) \to (\mathbb R_{\geq 0}, \cdot) \end{eqnarray*}$ angegeben und eine Funktion $\begin{eqnarray*} g: (\mathbb R_{\geq 0}, \cdot) \to (\mathbb R,+) \end{eqnarray*}$ .

Aus der Existenz dieser beiden Funktionen folgt noch nicht die Bijektivität.

Was muss für die Komposition dieser beiden Funktionen gelten?

28.12.2011, 11:19

Matzemathiker

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für bijektionen gilt immer $\begin{eqnarray*} f \circ g = g \circ f \end{eqnarray*}$

28.12.2011, 11:21

lgrizu

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Genau, mit $\begin{eqnarray*} f \circ g=g \circ f=id \end{eqnarray*}$ .

Also, den Prozess noch kurz errechnen, dann bist du fertig.

28.12.2011, 11:42

Matzemathiker

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zu zeigen :

f (g(x)) = g (f(x))

mit $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{a} \cdot e^{b} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} g(x)= e^{a+b} \end{eqnarray*}$

soweit richtig?

oder muss ich einfach nur zeigen:

$\begin{eqnarray*} f (a\cdot b)= g (a) + g (b) \end{eqnarray*}$

das habe ich eigentlich im prinzip schon gezeigt

28.12.2011, 12:37

lgrizu

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Zitat:

Original von Matzemathiker
oder muss ich einfach nur zeigen:

$\begin{eqnarray*} f (a\cdot b)= g (a) + g (b) \end{eqnarray*}$

das habe ich eigentlich im prinzip schon gezeigt

Was machst du denn nun? unglücklich

unglücklich

Und wie hast du das gezeigt?

Was ist g, was ist f?

Sicherlich ist $\begin{eqnarray*} e^{x \cdot y} \neq \log(x)+\log(y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \log(x \cdot y) \neq e^x+e^y \end{eqnarray*}$ , also stimmt das schon mal gar nicht, egal, welche der beiden Funktionen du mit g und welche mit f bezeichnet hast.

Was gezeigt wurde, und das ist die Homomorphiebedingung, dass gilt

$\begin{eqnarray*} \log(x \cdot y)=\log(x)+ \log(y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{x+y}=e^x \cdot e^y \end{eqnarray*}$ , das ist aber relativ trivial.

Was zu zeigen ist, ist, dass die Komposition der Funktionen die Identität ergibt.

28.12.2011, 20:54

Matzemathiker

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Zitat:

Original von lgrizu

Was ist g, was ist f?

Was zu zeigen ist, ist, dass die Komposition der Funktionen die Identität ergibt.

mit $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{a} \cdot e^{b} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} g(x)= e^{a+b} \end{eqnarray*}$

das war auch nur ein Gedanke, ich komm da immer noch nicht hinter verwirrt

verwirrt

28.12.2011, 21:04

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

Das ist alles ziemlicher Murks, dein f(x) und g(x) hängen nicht von x ab.

Betrachten wir einmal die beiden Abbildungen:

$\begin{eqnarray*} f: (\mathbb R_{\geq 0}, +) \to (\mathbb R, \cdot) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$ .

Diese Abbildung erfüllt die Homomorphiebedingung.

Dann betrachten wir die Abbildung

$\begin{eqnarray*} g: (\mathbb R, \cdot) \to (\mathbb R_{\geq 0}, +) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(x)=\log(x) \end{eqnarray*}$ , auch ein Homomorphismus.

Nun ist zu zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} f \circ g=g \circ f=id \end{eqnarray*}$ , es ist $\begin{eqnarray*} e^{\log(x)}=\log(e^x)=x \end{eqnarray*}$ , und das wars schon (vorrausgesetzt man darf diese Eigenschaften benutzen).

28.12.2011, 21:08

Ibn Batuta

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Das war eine der schwersten Kaiserschnitte, die ich hier je lesen durfte.

Ibn Batuta

28.12.2011, 21:22

Matzemathiker

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f (g(x)) = e^{logx}= x = log (e^{x} )= g(fx)) \end{eqnarray*}$

damit wurde die identität gezeigt und ist bijektiv.

das muss richtig sein

28.12.2011, 22:20

Matzemathiker

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ha ha

ROFL

(ironisch gemeint), ich lach schon drüber weil ich's selbst nicht fasse

tut mirt wirklich leid, hab das mir auch anders vorgestellt

ich hatte vorher noch eine aufgabe gepostet, die hatte ich auch fertig ich stell sie mal wieder rein.

das sollte aber sicher schneller gehen, da ich mir da relativ sicher bin:7

die isomorphoie kann der gruppen $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z,+ ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z, \circ ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \circ b := a + b + 1 \end{eqnarray*}$ kann durch $\begin{eqnarray*} f(x): = x -1 \end{eqnarray*}$ bewiesen werden.

hab das so gemacht:

$\begin{eqnarray*} f(ab): = ab -1 = (a+1)+(b+1) - 1 = a + 1 + b + 1 - 1 = a+ b + 1 \end{eqnarray*}$

und damit gezeigt, oder?

28.12.2011, 22:46

galoisseinbruder

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} ab -1 = (a+1)+(b+1) - 1 \end{eqnarray*}$

Einspruch. Das ist falsch, siehe z.B. a=b=0.
Was du mit dieser Rechnung überhaupt zeigen willst ist mir schleierhaft.

28.12.2011, 22:55

Matzemathiker

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Zitat:

Was du mit dieser Rechnung überhaupt zeigen willst ist mir schleierhaft.

Die Isomorphoie der Gruppen $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z,+ ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z, \circ ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \circ b := a + b + 1 \end{eqnarray*}$ kann durch $\begin{eqnarray*} f(x): = x -1 \end{eqnarray*}$ bewiesen werden?

ich hab auf f(x) abgebildet und ausgerechnet

28.12.2011, 23:03

galoisseinbruder

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Du willst also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f: (\mathbb Z,+ ) \to (\mathbb Z, \circ ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\mapsto x-1 \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus ist?
Wieso betrachtest Du dann $\begin{eqnarray*} a \cdot b \end{eqnarray*}$ ? Die Multiplikation als Verknüpfung kommt hier doch nirgends vor.
Und um Isomorphismus zu zeigen muss muss Homomorphismus und bijektiv zeigen. Ich sehe nicht wo deine Rechnung da nützlich werden könnte. (falls sie stimmen würde)

Falls du was anderes meinst kläre mich auf.

28.12.2011, 23:43

Matzemathiker

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wir haben eine aufgabe aus dem skript, der dieser hier sehr ähnelt und demnach hab ich mich orientiert.

siehe bitte anhang.

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