Polynom-Interpolation via Lagrange-Polynome

25.12.2011, 14:47	Lagrange-Polynom	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom-Interpolation via Lagrange-Polynome Meine Frage: Es seien Werte an 4 Stützstellen gegeben: $\begin{eqnarray} p_1 = p(x_1) = p(-2) = -\frac{1}{2}<br /> p_2 = p(x_2) = p(0) = \frac{3}{2}<br /> p_3 = p(x_3) = p(1) = 1<br /> p_4 = p(x_4) = p(3) = 12 \end{eqnarray}$ Es ist ein Interpolations-Polynom $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ vom Grad $\begin{eqnarray} n - 1 \end{eqnarray}$ zu finden. Meine Ideen: Das interpolierende Polynom ist gegeben durch die Lagrange-Polynome $\begin{eqnarray} L_j \end{eqnarray}$ zu den Stützstellen: $\begin{eqnarray} p(x) = \sum\limits_{j=1}^4 p_j L_j(x) = -\frac{1}{2} L_1(x) + \frac{3}{2} L_2(x) + L_3(x) + 12 L_4(x) \end{eqnarray}$ Wie kann ich die Terme weiter ausrechnen?
25.12.2011, 14:54	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sehen denn die Lagrange-Polynome aus? Die kannst du dann einfach für die $\begin{eqnarray} L_k \end{eqnarray}$ einsetzen und weiter ausrechnen.
25.12.2011, 17:21	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
[WS] Polynominterpolation - Beispiele
25.12.2011, 17:34	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal eine kleine Frage dazu, kann man damit auch Steckbriefaufgaben aus der Schule lösen?
25.12.2011, 17:40	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja kann man. Jedoch ist die Vorhergehensweise mit den Lagrange-Polynomen eher theoretisch interessant. In der Praxis geht eigentlich das Schema der dividierten Differenzen am schnellsten. Unter Tigerbines Link findest du auch ein Beispiel dazu.
25.12.2011, 17:45	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Formal sei noch gesagt, dass bei Steckbriefaufgaben auch oft Ableitungen hinzukommen. Dann nennt man das Hermite-Interpolation. Wenn ex noch "exotischer" wird, also mit Integralen [Der Graph schließe mit der x-Achse eine Fläche ein...] Das führt dann eher auf die LGS-Form und nicht auf ein "Schema".
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