Adjunktion: K(a) gegen K[a]

25.12.2011, 14:51	pablosen	Auf diesen Beitrag antworten »
Adjunktion: K(a) gegen K[a] Hallo liebes Forum Habe ich diese Schreibweise richtig verstanden: K(a)= Der Quotientenkörper von K (=Q(K)) adjungiert a und K[a]= K adjungiert a. Nun, wenn nicht, was heisst es dann? Ich wünsche euch schöne Weihnachten. Pablo
25.12.2011, 15:08	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Adjunktion: K(a) gegen K[a] hallo pablosen, es ist so: mit K(a) meint man nur den mit a adjungierten körper k (aber nicht den quotientenkörper), mit K[a] meint man den polynomrig über K erweitert um das element a. gruss ollie3
25.12.2011, 15:33	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Dabei sollte noch angemerkt werden, dass $\begin{eqnarray} K[a] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K(a) \end{eqnarray}$ das gleiche sind, wenn $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ algebraisch über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ist. Vergleiche Aufgabe (b). Jedoch ist dies falsch, wenn $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ transzendent über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ist. Beispielsweise ist $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}[\pi] \end{eqnarray}$ isomorph zum Polynomring über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ (in einer Unbestimmten), während $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\pi) \end{eqnarray}$ isomorph zum Körper der rationalen Funktionen über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ (ebenfalls in einer Variablen) ist. Vergleiche dazu Aufgabe (a). Man kann $\begin{eqnarray} K[a] \end{eqnarray}$ auch verstehen als "der kleinste Ring, der $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ enthält", $\begin{eqnarray} K(a) \end{eqnarray}$ als "der kleinste Körper, der $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ enthält".
26.12.2011, 08:53	pablosen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke euch.

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