Orthogonalität zweier Ebenen

27.12.2011, 13:13	Maximan	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalität zweier Ebenen Hallo, ich bin bei dieser Aufgabe auf ein Problem gestoßen: Bestimme einen Vektor $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ so, dass die Ebene mit den Spannvektoren $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ orthogonal zur Ebene mit den Spannvektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1\\ -5 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist. Um auf die Lösung zu kommen, bin ich folgendermaßen vorgegangen: $\begin{eqnarray} E_{1} \end{eqnarray}$ besteht aus $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E_{2} \end{eqnarray}$ besteht aus $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1\\ -5 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich hab mir den Normalenvektor zu $\begin{eqnarray} E_{2} \end{eqnarray}$ ausgerechnet: Dieser lautet $\begin{eqnarray} r\begin{pmatrix} 1 \\ -2,5 \\ -1,5 \end{pmatrix}=\vec{n_{2}} \end{eqnarray}$ Da die Ebenen orthogonal zueinander sein sollen und $\begin{eqnarray} \vec{n_{2}} \end{eqnarray}$ deshalb in der Ebene $\begin{eqnarray} E_{1} \end{eqnarray}$ liegt, kann $\begin{eqnarray} \vec{n_{2}} \end{eqnarray}$ als der gesuchte Vektor $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ betrachtet werden. Wenn dies aber die Lösung ist, dann muss folgendes gelten: $\begin{eqnarray} \vec{n_{1}}\vec{n_{2}}=0 \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} \vec{n_{2}} \end{eqnarray}$ bereits bekannt ist, erhält man $\begin{eqnarray} \vec{n_{1}}\begin{pmatrix} 1 \\ -2,5 \\ -1,5 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray}$ Daraus folgt $\begin{eqnarray} n_{1}-2,5n_{2}-1,5n_{2}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{n_{1}} \end{eqnarray}$ wäre also z.B. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da die Ebenen ja orthogonal zueinander sind, muss ja auch $\begin{eqnarray} \vec{n_{1}} \end{eqnarray}$ orthogonal zu dem Vektor und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} E_{1} \end{eqnarray*}$ sein. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist jedoch ungleich 0 und somit sind die Vektoren auch nicht Orthogonal. Aber das darf ja nicht sein. Wo liegt der Fehler?
27.12.2011, 16:13	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Fehler ist ein relativ einfacher: Du unterliegst dem Irrtum, zu glauben, dass jeder Normalvektor zu n2 parallel zu (bzw. in) der Ebene E1 liegt. Tatsächlich tut dies aber nur ein einziger Vektor (bzw. dessen Vielfache), nämlich n1 = (1; -2; 4). Dieser ist als Vektorprodukt von (2; 3; 1) und n2 zu berechnen. __________ Es ist ja auch nur das Skalarprodukt von n1 und n2 gleich Null. Übrigens kann der Sachverhalt gut durch eine entsprechende Skizze geklärt werden. mY+
27.12.2011, 18:20	Maximan	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Danke! Ich hab's jetzt verstanden

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