Anwendung von Gaußverfahren auf Komplexe Matritzen?

27.12.2011, 14:46

JSD4

Anwendung von Gaußverfahren auf Komplexe Matritzen?

Hallo,

ich bin bisschen bei den komplexen Matritzen durcheinander:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1+2i & 3+4i & 5+6i \\ 6-5i & 4-3i & 2-1i \\ 2+2i & 4-4i & 6+6i \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6+8i \\ 8-6i \\ 8+8i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Als Gleichungssystem dargestellt sieht es ja folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} (1+2i)x_1 + (3+4i)x_2 + (5+6i)x_3 = 6+8i \end{eqnarray*}$ (I)
$\begin{eqnarray*} (6-5i)x_1 + (4-3i)x_2 + (2-1i)x_3 = 8-6i \end{eqnarray*}$ (II)
$\begin{eqnarray*} (2+2i)x_1 + (4-4i)x_2 + (6+6i)x_3 = 8+8i \end{eqnarray*}$ (III)

Nun bin ich folgerndermaßen vorangegangen:

$\begin{eqnarray*} (\frac{6-5i}{1+2i})\cdot (I) \end{eqnarray*}$ und zu (II) subtrahieren

$\begin{eqnarray*} (\frac{2+2i}{1+2i})\cdot(I) \end{eqnarray*}$ und zu (III) subtrahieren

$\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ verschwindet aus II, wie verfasst man aber die restlichen zusammen?

Muss man erstmal $\begin{eqnarray*} \frac{6-5i}{1+2i} \end{eqnarray*}$ erweitern mit $\begin{eqnarray*} \frac{6-5i}{1+2i} = \frac{6-5i}{1+2i} \cdot \frac{1-2i}{1-2i} \end{eqnarray*}$ woraus $\begin{eqnarray*} \frac{-4-17i}{5} = -\frac{4}{5} - \frac{17}{5}i \end{eqnarray*}$ folgt und dann mit $\begin{eqnarray*} 3+4i \end{eqnarray*}$ multiplizieren? Oder ohne Zusammenfassung, multiplizieren und am Ende die Erweiterung durchführen? Sonst bekommt man ja verschiedene Ergebnisse...

Danke im Voraus

28.12.2011, 08:40

klarsoweit

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RE: Anwendung von Gaußverfahren auf Komplexe Matritzen?

Zitat:

Original von JSD4
Oder ohne Zusammenfassung, multiplizieren und am Ende die Erweiterung durchführen? Sonst bekommt man ja verschiedene Ergebnisse...

Ich verstehe nicht, was du meinst bzw. wie du da verschiedene Ergebnisse rausbekommen willst. verwirrt

28.12.2011, 13:20

JSD4

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wie geht man voran kann mir jemand da einen tip geben

28.12.2011, 13:34

klarsoweit

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Wo ist denn jetzt das Problem? Du mußt doch nur das Gauß-Verfahren anwenden und fleißig mit komplexen Zahlen rechnen.

28.12.2011, 13:46

JSD4

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Wie rechne ich mit den komplexen Zahlen? Erweiternd oder ohne Erweiternd, so wie oben dargstellt

28.12.2011, 16:04

klarsoweit

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Eigentlich ist das egal. Wenn du auf die Form "a + b*i" Wert legst, dann mußt du eben mit dem konjugiert komplexen des Nenners erweitern.

28.12.2011, 17:17

Leopold

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Man könnte sich auch überlegen, mit $\begin{eqnarray*} x_1 = a_1 + \operatorname{i} b_1 \end{eqnarray*}$ usw. die Matrizengleichung in Real- und Imaginärteil zu zerlegen. Dann hat man ein rein reelles Gleichungssystem vom Typ 6×6 zu lösen. Ich sage aber nicht, daß das unbedingt einfacher ist.

28.12.2011, 20:27

JSD4

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Erstmal danke an euch allen, für die Antworten.

Seit dem ich mit Komplexen Zahlen in Berührung gekommen bin, weiss ich nicht ob die Mathematiker vor uns sie wirklich richtig definiert haben. Dass etwas funktioniert oder reelle Lösungen gibt, heißt ja nicht, dass es richtig ist.

Es gibt sowohl einen sehr großen Unterschied bei diesem folgenden Beispiel:

$\begin{eqnarray*} (4-3i) - \frac{38+9i}{1+2i} \end{eqnarray*}$ soll durchgeführt werden.

Es gibt 2 Lösungswege:

Einmal $\begin{eqnarray*} \frac{(4-3i)(1+2i)}{1+2i} - \frac{38+9i}{1+2i} \end{eqnarray*}$ , was $\begin{eqnarray*} \frac{-28+4i}{1-2i} \end{eqnarray*}$ ergibt. Bei Erweiterung mit dem konjugierten Erhält man hier $\begin{eqnarray*} -4+12i \end{eqnarray*}$

Wenn wir bei $\begin{eqnarray*} (4-3i) - \frac{38+9i}{1+2i} \end{eqnarray*}$ zuerst $\begin{eqnarray*} \frac{38+9i}{1+2i} \end{eqnarray*}$ konjugiert erweitern, erhalten wir $\begin{eqnarray*} 11,2 - 13,4i \end{eqnarray*}$ und wenn wir $\begin{eqnarray*} (4-3i) - (11,12-13,4i) \end{eqnarray*}$ rechnen, erhalten wir $\begin{eqnarray*} -7,2+10,4i \end{eqnarray*}$ .

Welches ist nun richtig? Müssten beide Ergebnisse nicht das selbe sein? Sie sind nicht das selbe, weil bei einer konjugierten Erweiterung der Wert verändert wird und das Gesetz "=" damit verletzt wird.

Wozu führt man in der Komplexen Rechnung eine konjugierte Erweiterung durch, die den tatsächlichen Wert aber verändert? Was nützt uns dann der Real und Imiganärteil eines konjugiert Erweiterten Wertes, dessen Informationen verändert wurde?

Matlab spuckt das gleiche Ergebnis wie bei der 2. durchgeführten Rechnung aus. Aber damit ist meine Frage trotzdem nicht beantwortet hat jemand paar Gedanken dazu?

28.12.2011, 20:49

parkerstone

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Zitat:

Seit dem ich mit Komplexen Zahlen in Berührung gekommen bin, weiss ich nicht ob die Mathematiker vor uns sie wirklich richtig definiert haben. Dass etwas funktioniert oder reelle Lösungen gibt, heißt ja nicht, dass es richtig ist.

Dein Umkehrschluss, dass wenn du was nicht hinkriegst wer anderes Schuld ist (hier: verstorbene Mathematiker) ist mindestens bedenklich.
Insbesondere wenn´s daran liegt, dass du zu -passendes Attribut einfügen- bist, deine Formeln richtig abzuschreiben:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{(4-3i)(1+2i)}{1+2i} - \frac{38+9i}{1+2i} \end{eqnarray*}$ , was $\begin{eqnarray*} \frac{-28+4i}{1-2i} \end{eqnarray*}$

.
Das ergibt dies natürlich nicht sondern $\begin{eqnarray*} \frac{-28+4i}{1+2i} \end{eqnarray*}$ nach der Rechenregel zur Addition von Brüchen mit gleichem Nenner.

28.12.2011, 21:02

parkerstone

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Bei genauerem Nachrechnen kommt sogar noch was anderes raus:
$\begin{eqnarray*} \frac{-28-4i}{1+2i} \end{eqnarray*}$ .

Nach wie vor liegen die Fehler nur in Grundrechenarten.

28.12.2011, 21:08

JSD4

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Es geht nicht darum, dass ich das nicht hinkriege und andere deswegen Schuld sind. Dank matlab weiß ich jetzt wie vorzugehen ist (das 2. Rechenbeispiel). Das jemand etwas hinkriegt oder nicht heißt lange nicht, dass das was er auch hinkriegt widerspruchsfrei ist und keine Naturgesetze verletzt. Ich frage mich trotzdem nur was eine konjugierte Erweiterung (man kann dadurch in Real und Imaginärteil aufsplitten ich weiss) bringt, wenn das Gleichgewicht dadurch verändert wird?

Es kann sein dass etwas anderes rauskommt, trotzdem liefern beide Voransgehenweisen verschiedene Lösungen, da bei einer konjugierten Erweiterung der Wert nicht mehr gleich ist.

Sicherlich gibt es mehrere Ebenen die wir erstmal so nicht weiter erläutern können da uns noch so einige Rechenoperationen fehlen, die wir im laufe noch entdecken müssen, die sicherlich auch eine neue technische Ära mit sich bringt, da sie vielleicht einige Sackgassen lösen wird. Alles was vorher definiert wurde muss auch nicht richtig sein, schließlich sind wir alle Menschen und könnten irgendwo einen Denkfehler haben.

28.12.2011, 21:22

parkerstone

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Naturgesetze haben in der Mathematik nichts verloren. Die Mathematik hat nicht mit der Natur zu tun. Mehr oder weniger zufälligerweise lässt sich die Natur mit Hilfe der Mathematik relativ gut beschreiben. Deswegen muss die mathematik aber noch lange keine Naturgesetze erfüllen, welche auch immer das sein sollen, insbesondere dein "Gleichgewicht"; das ist kein mathematischer Begriff.
Und das uns noch Rechenoperationen fehlen halte ich für ein Gerücht. Und da das hier in metyphysisches Geschwurbel abdriftet:
Wink

meinerseits.

Und nochmal: Beide Vorgehensweisen liefern ein und das selbe Ergebnis- wenn man richtig rechnet.

28.12.2011, 21:53

JSD4

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Zitat:

Original von parkerstone
Naturgesetze haben in der Mathematik nichts verloren. Die Mathematik hat nicht mit der Natur zu tun. Mehr oder weniger zufälligerweise lässt sich die Natur mit Hilfe der Mathematik relativ gut beschreiben. Deswegen muss die mathematik aber noch lange keine Naturgesetze erfüllen, welche auch immer das sein sollen, insbesondere dein "Gleichgewicht"; das ist kein mathematischer Begriff.
Und das uns noch Rechenoperationen fehlen halte ich für ein Gerücht. Und da das hier in metyphysisches Geschwurbel abdriftet:
Wink

meinerseits.

Und nochmal: Beide Vorgehensweisen liefern ein und das selbe Ergebnis- wenn man richtig rechnet.

Wenn du es für ein Gerücht hälst, wieso glaubst du an die komplexe Zahlen (ich denke mal schon dass du an sie glaubst) die viele Probleme in der Technik löst und viele Fortschritte in der Quantenmechanik bringt?

Die Mathematik hat auch ihre fundamentalen Gesetze, vielleicht sogar seine eigene Natur, die nicht verletzt werden dürfen. Man hat die selben Rechenoperationen in der komplexen Ebene wie zur reellen Ebene definiert.

Mit reellen Zahlen will ich dir zeigen was ich mit Gleichgewicht gemeint habe. Es besteht keine Gleichheit mehr nach der Auflösung der Erweiterung:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{5-2x} = \frac{3}{5+2x} \cdot \frac{5-2x}{5-2x} \neq \frac{15-6x}{25+4x^2} \end{eqnarray*}$

Sie funktioniert nicht in der reellen Ebene, weil hier keine Gleichheit mehr besteht.

Deswegen habe ich mich gefragt, ob eine konjugierte Erweiterung wirklich sinnvoll ist in der komplexen Ebene. Um manchmal voranzukommen muss man gewisse Sachen anzweifeln bis man es selbst nachvollzieht und vielleicht hat man auf dem Weg dahin schon was anderes entdeckt oder gelernt smile

29.12.2011, 08:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von JSD4
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{5-2x} = \frac{3}{5+2x} \cdot \frac{5-2x}{5-2x} \end{eqnarray*}$

Was soll denn der Unfug? Allein das stimmt schon nicht.

29.12.2011, 11:41

Leopold

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@ JSD4

Hier wird viel zu viel geredet und viel zu wenig (richtig) gerechnet. Ich greife einmal meinen Vorschlag auf und zerlege die gegebene Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in Real- und Imaginärteil:

$\begin{eqnarray*} A = P + \operatorname{i} Q \ \ \text{mit} \ \ P = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 6 & 4 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} , \ Q = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ -5 & -3 & -1 \\ 2 & -4 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Entsprechend wird auch die Variablenspalte $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray*}$ in Real- und Imaginärteil zerlegt:

$\begin{eqnarray*} x = u + \operatorname{i} v \ \ \text{mit} \ \ u = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} , \ v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und ebenso die rechte Seite der Gleichung:

$\begin{eqnarray*} c = a + \operatorname{i} b \ \ \text{mit} \ \ a = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix} , \ b = \begin{pmatrix} 8 \\ -6 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt schreibt sich das Ganze so:

$\begin{eqnarray*} \left( P + \operatorname{i} Q \right) \cdot \left( u + \operatorname{i} v \right) = a + \operatorname{i} b \ \ \Leftrightarrow \ \ Pu - Qv = a \ \wedge \ Qu + Pv = b \end{eqnarray*}$

Und damit hat man ein rein reelles lineares Gleichungssystem mit sechs Gleichungen in sechs Unbekannten, in Kästchenschreibweise:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} P & -Q \\ Q & P \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und konkret mit Zahlen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & -2 & -4 & -6 \\ 6 & 4 & 2 & 5 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 6 & -2 & 4 & -6 \\ 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5 \\ -5 & -3 & -1 & 6 & 4 & 2 \\ 2 & -4 & 6 & 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 8 \\ 8 \\ -6 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist es eine reine Fleißaufgabe, das zu Ende zu rechnen (oder man "läßt es rechnen", TR oder CAS). Jedenfalls ist die Lösung $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

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