Warum verschwindet dieser Spline?

12.01.2007, 16:44

Meister Lampe

Warum verschwindet dieser Spline?

Hallo zusammen,
ich lese ja schon lange hier mit - aber jetzt muß ich selbst mal eine Frage loswerden:

In einer alten Klausur habe ich folgende Aufgabe gefunden:

Zitat:

Es sei $[latex]\Delta = \{x_0 < x_1 < ... < x_{n+1}\}[/latex]$ .

Zeigen Sie: Eine kubische Spline-Funktion $[latex]S \in Sp(4,\Delta)[/latex]$ mit den Randbedingungen

$[latex]S^{(k)}(x_0) = 0, \quad S^{(k)}(x_{n+1)} = 0, \quad k=0,1,2[/latex]$

verschwindet für [latex]n<3[/latex]

identisch.

Mit n=0,1 müssen wir uns nicht aufhalten - das ist klar. Sei also n=2.

code:
1: 2: 3:	I-------I-------I-------I x0 x1 x2 x3

Wegen dem MWS gilt: $[latex]\exists_{\alpha,\beta,\gamma \in ]x_0,x_3[} \quad S'(\alpha) = S''(\beta) = S^{(3)}(\gamma) = 0[/latex]$

Liegt dieses $[latex]\beta[/latex]$ nun in [latex]]x_0,x_1][/latex]

oder

ist die Sache auch eindeutig (zwei Nullstellen für lineares Polynom, usw. sukzessive folgt $[latex]S \equiv 0[/latex]$ ).

Aber was ist, falls das nicht der Fall ist? Isch komm net selbst drauf traurig

12.01.2007, 16:50

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the maste

RE: Warum verschwindet dieser Spline?

[I]warum nicht Wink

12.01.2007, 16:54

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Meister Lampe

Och, ich glaube jetzt habe ichs doch selbst rausbekommen:

Liegt $[latex]\beta \in ]x_0,x_1] \vee [x_2,x_4[[/latex]$ ist die Sache klar.

Liegt $[latex]\gamma \in ]x_0,x_1] \vee [x_2,x_4[[/latex]$ folgt das selbe, denn dann ist die dritte Ableitung identisch 0 ==> zweite Ableitung besitzt keine Steigung, ist also auch identisch 0 ==> 1. Ableitung auch ==> Spline identisch 0.

Also bleibt nur noch zu untersuchen, wenn $[latex]\beta[/latex]$ und $[latex]\gamma[/latex]$ beide im Intervall [latex][x_1,x_2][/latex]

liegen. Dann gilt: Dritte Ableitung ist irgendwo im Intervall = 0 und zweite Ableitung ist irgendwo = 0. Dann ist aber die zweite Ableitung auch identisch 0. Dann wieder MWS auf die beiden "äußeren" Intervalle anwenden und man erhält $[latex]S \equiv 0[/latex]$ .

Das ist zwar ein wenig umständlich (?), aber es scheint zu funktionieren. Juhuu Tanzen

12.01.2007, 21:24

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Zitat:

Original von Meister Lampe
Liegt $[latex]\gamma \in ]x_0,x_1] \vee [x_2,x_4[[/latex]$ folgt das selbe, denn dann ist die dritte Ableitung identisch 0

Wieso? Die dritte Ableitung an den Übergangspunkten muss bei kubischen Splines nicht mal existieren: Die zweite Ableitung kubischer Splines ist ein stetiger Streckenzug, an den Knickpunkten existiert die dritte Ableitung nicht! Insofern ist schon deine Aussage der Existenz des $[latex]\gamma[/latex]$ falsch.

12.01.2007, 23:36

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Meister Lampe

Da war ich zu voreilig, weil ich dachte ich habs. Alles mit $[latex]\gamma[/latex]$ ist Unsinn. Du hast nicht zufällig einen kleinen Hinweis für das mittlere Intervall? Muß ja keine Lösung sein, aber das wurmt mich, an soetwas zu hängen...

27.01.2007, 13:50

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Iscariot

RE: Warum verschwindet dieser Spline?

Hallo Meister Lampe.

(i) Anwendung des MWS: $[latex]\exists_{\xi_1} \in ]x_0,x_3[ \quad S'(\xi_1) = 0[/latex]$
(ii) erneute Anwendung des MWS: $[latex]\exists_{\xi_2 \in ]x_0, \xi_1[, \xi_3 \in ]\xi_1,x_3[} \quad S''(\xi_2) = S''(\xi_3) = 0[/latex]$

Nun ist [latex]S''[/latex]

linear. Wegen (ii) gibt es insgesamt aber die 4 Nullstellen $[latex]x_0, x_3, \xi_2, \xi_3[/latex]$ . D.h. in (mind.) einem Intervall ist $[latex]S'' \equiv 0[/latex]$ .

(I) $[latex]S''|_{[x_0,x_1]} \equiv 0 \Rightarrow S|_{[x_0,x_1]} \equiv 0 \Rightarrow S \equiv 0[/latex]$ (folgt unmittelbar aus MWS)

(II) $[latex]S''|_{[x_2,x_3]} \equiv 0[/latex]$ analog (I)

(III) $[latex]S''|_{[x_1,x_2]} \equiv 0[/latex]$ Dann ist insbesondere [latex]S''(x_1) = S''(x_2) = 0[/latex]

und damit wegen (I) und (II) auch $[latex]S|_{[x_0,x_1]} = S|_{[x_2,x_3]} \equiv 0[/latex]$ und damit auch $[latex]S|_{[x_1,x_2]} \equiv 0[/latex]$ .

Insgesamt also $[latex]S \equiv 0[/latex]$

Muß natürlich etwas exakter aufgeschrieben werden, aber als Idee reichts...

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