Warum verschwindet dieser Spline?

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Meister Lampe Auf diesen Beitrag antworten »
Warum verschwindet dieser Spline?
Hallo zusammen,
ich lese ja schon lange hier mit - aber jetzt muß ich selbst mal eine Frage loswerden:

In einer alten Klausur habe ich folgende Aufgabe gefunden:

Zitat:

Es sei .

Zeigen Sie: Eine kubische Spline-Funktion mit den Randbedingungen



verschwindet für identisch.


Mit n=0,1 müssen wir uns nicht aufhalten - das ist klar. Sei also n=2.


code:
1:
2:
3:
I-------I-------I-------I
x0     x1     x2     x3


Wegen dem MWS gilt:

Liegt dieses nun in oder ist die Sache auch eindeutig (zwei Nullstellen für lineares Polynom, usw. sukzessive folgt ).

Aber was ist, falls das nicht der Fall ist? Isch komm net selbst drauf traurig
the maste Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum verschwindet dieser Spline?
[I]warum nicht Wink Wink Wink Freude Hammer traurig Mit Zunge
Meister Lampe Auf diesen Beitrag antworten »

Och, ich glaube jetzt habe ichs doch selbst rausbekommen:

Liegt ist die Sache klar.

Liegt folgt das selbe, denn dann ist die dritte Ableitung identisch 0 ==> zweite Ableitung besitzt keine Steigung, ist also auch identisch 0 ==> 1. Ableitung auch ==> Spline identisch 0.

Also bleibt nur noch zu untersuchen, wenn und beide im Intervall liegen. Dann gilt: Dritte Ableitung ist irgendwo im Intervall = 0 und zweite Ableitung ist irgendwo = 0. Dann ist aber die zweite Ableitung auch identisch 0. Dann wieder MWS auf die beiden "äußeren" Intervalle anwenden und man erhält .

Das ist zwar ein wenig umständlich (?), aber es scheint zu funktionieren. Juhuu Tanzen
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Meister Lampe
Liegt folgt das selbe, denn dann ist die dritte Ableitung identisch 0

Wieso? Die dritte Ableitung an den Übergangspunkten muss bei kubischen Splines nicht mal existieren: Die zweite Ableitung kubischer Splines ist ein stetiger Streckenzug, an den Knickpunkten existiert die dritte Ableitung nicht! Insofern ist schon deine Aussage der Existenz des falsch.
Meister Lampe Auf diesen Beitrag antworten »

Da war ich zu voreilig, weil ich dachte ich habs. Alles mit ist Unsinn. Du hast nicht zufällig einen kleinen Hinweis für das mittlere Intervall? Muß ja keine Lösung sein, aber das wurmt mich, an soetwas zu hängen...
Iscariot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum verschwindet dieser Spline?
Hallo Meister Lampe.

(i) Anwendung des MWS:
(ii) erneute Anwendung des MWS:

Nun ist linear. Wegen (ii) gibt es insgesamt aber die 4 Nullstellen . D.h. in (mind.) einem Intervall ist .

(I) (folgt unmittelbar aus MWS)

(II) analog (I)

(III) Dann ist insbesondere und damit wegen (I) und (II) auch und damit auch .

Insgesamt also

Muß natürlich etwas exakter aufgeschrieben werden, aber als Idee reichts...
 
 
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