Beweis, komme nicht weiter

29.12.2011, 14:19

martinio

Beweis, komme nicht weiter

Habe hier eine Bemerkung aus meinem Skript:

Zitat:

Bemerkung 3.4.2. Eine Familie von Vektoren (a1, . . . , an) ist genau dann linear abhangig, wenn sich (mindestens) einer der Vektoren als Linearkombination der anderen schreiben lasst.

Der Beweis wurde ausgelassen, würde aber trotzdem gerne wissen warum. Auf dem Papier scheint mir das logisch, wenn man es sich mal skiziert.

Meine Idee:

Ich nehme mir die Familie ( a1, a2, a3 ) , dann sollte a1 durch eine LK von a2 und a3 dargestellt werden können, schreibe also

$\begin{eqnarray*} a_{1} = \sum\limits_{v=2}^n \lambda^{v}a_{v} \end{eqnarray*}$

und die Familie soll linear abhängig sein, sprich nicht linear unabhängig:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{v=1}^n \lambda^{v}a_{v} = 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall \lambda^{v} \in K \end{eqnarray*}$
Wähle $\begin{eqnarray*} \lambda^{1} = -10 \end{eqnarray*}$ Erhalte $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{v=1}^n \lambda^{v}a_{v} \neq 0 \end{eqnarray*}$ , somit ist die Familie (a1,a2,a3) von Vektoren linear abhängig.

Hier mein Problem: komme nicht weiter....

29.12.2011, 14:26

Iorek

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Was machst du denn in deinem Beweis? Das ist Unfug, was du da schreibst.

Du musst hier zwei Richtungen zeigen:
1. $\begin{eqnarray*} (a_1,\dots,a_n)~\text{lin. abhängig}~\Rightarrow~\text{ein Vektor lässt sich als LK darstellen} \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} (a_1,\dots,a_n)~\text{lin. abhängig}~\Leftarrow~\text{ein Vektor lässt sich als LK darstellen} \end{eqnarray*}$

Sei also $\begin{eqnarray*} (a_1,\dots,a_n) \end{eqnarray*}$ linear abhängig, folgere daraus, dass sich einer der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen lässt.

29.12.2011, 14:46

martinio

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hmm okay, wenn ich mir meinen beweis anschaue führt der zu nichts...

okay also

1. $\begin{eqnarray*} (a_1,\dots,a_n)~\text{lin. abhängig}~\Rightarrow~\text{ein Vektor lässt sich als LK darstellen} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \lambda^{1}a_{1} = \sum\limits_{v=2}^n \lambda^{v}a_{v} \end{eqnarray*}$
<=>
$\begin{eqnarray*} a_{1} = \frac{1} { \lambda^{1} } \sum\limits_{v=2}^n \lambda^{v}a_{v} \end{eqnarray*}$

geht das in die richtige Richtung?

29.12.2011, 14:52

Iorek

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Es geht in die richtige Richtung, aber:

Warum potenzierst du die $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ? Schreibe es lieber als Index, $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\dots,\lambda_n \end{eqnarray*}$ . Dann solltest du über die Definition der linearen Abhängigkeit anfangen, was bedeutet es, wenn eine Menge von Vektoren linear abhängig ist? Deine Idee stimmt, allerdings solltest du jetzt noch an der Ausarbeitung feilen, und nötige Begründungen für deine Schritte geben.

29.12.2011, 15:05

martinio

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Zitat:

Warum potenzierst du die $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ? Schreibe es lieber als Index, $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\dots,\lambda_n \end{eqnarray*}$

Hätte ich vorher anmerken müssen, was aussieht wie eine Potenz ist eine Indexzahl, so hält unser Prof es im Skript, vondaher bin ich es gewöhnt.

Zitat:

Dann solltest du über die Definition der linearen Abhängigkeit anfangen, was bedeutet es, wenn eine Menge von Vektoren linear abhängig ist?

Also ich hab es mir so erklärt , wenn ich eine Familie,Menge,Tupel von Vektoren habe, dann sind diese genau dann linear abhängig, wenn

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{v=1}^n \lambda_{v}a_{v} \neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Heißt die lambdas dürfen alle Zahlen des Körpers annehmen. Bei der linearen Unabhängigkeit wird ja der Nullvektor erzeugt, hier bei der lin. Abhängigkeit Vektorkombinationen.

Kannst du mir sagen, ob dieser Beweis wichtig ist oder nicht? Also so eine grobe Einschätzung... ich lerne für die Klausur und wenn du mir nun sagst, dass das extrem wichtig ist zu wissen, dann werd ich da natürlich noch mehr Zeit drauf verwenden.

29.12.2011, 15:15

Iorek

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Zitat:

Original von martinio
Also ich hab es mir so erklärt , wenn ich eine Familie,Menge,Tupel von Vektoren habe, dann sind diese genau dann linear abhängig, wenn

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{v=1}^n \lambda_{v}a_{v} \neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Heißt die lambdas dürfen alle Zahlen des Körpers annehmen. Bei der linearen Unabhängigkeit wird ja der Nullvektor erzeugt, hier bei der lin. Abhängigkeit Vektorkombinationen.

Das solltest du noch einmal genau durchlesen und überdenken, das ist Quatsch!

Der Beweis dieser Aussage ist nicht unbedingt "wichtig", allerdings wäre es ein einfacher Beweis, der durchaus in einer Klausur abgefragt werden könnte.

Es sei $\begin{eqnarray*} (a_1,\dots,a_n) \end{eqnarray*}$ linear abhängig, dann existieren $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\dots, \lambda_n\in\mathbb K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \lambda_ka_k=0 \end{eqnarray*}$ , wobei mindestens eins der $\begin{eqnarray*} \lambda_k\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Das ergibt sich aus der Definition. Damit kannst du jetzt weiter arbeiten.

29.12.2011, 15:30

martinio

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okay ich setzt mich nochmal ran. wenn ich fragen zur def. hab schreib ich hier am besten rein.

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