Extremwertaufgabe Bergwerk

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29.12.2011, 19:16	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe Bergwerk Meine Frage: In einem Bergwerk soll von Punkt A nach Punkt B ein Gang gegraben werden. Der Punkt B liegt 120 m östlich und 60 Meter tiefer als A. In waagrechter Höhe von A liegt "günstiges"Gestein, in dem 1m des Ganges 40 Euro kostet, unter A ist hartes Gestein, indem ein Meter 90 Euro kostet. Berechne die Kosten der billigsten Verbindung, die zuerst von A waagrecht und dann schief abwärts führt. Meine Ideen: Ich habe mir eine Skizze gemacht (kann sie aber leider nicht einscannen weil ich keinen Scanner zur Verfügung habe aber sie ist sicher richtig. Ich muss mir da jetzt irgendwo ein Rechteck oder Dreieck,... heraussuchen oder? Kann mir jemand sagen wo? Ich weiß leider überhaupt nicht, wie ich bei diesem für mich sehr schweren Beispiel anfangen soll... Lg Julia
29.12.2011, 20:28	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwerteaufgabe Bergwerk Ich würde das ganze in ein Koordinatenkreuz legen und 2 Strecken markieren: Eine von A(0\|0) bis B(x0\|0), eine weitere von B(x0\|0) bis C(120\|60). Die zweite Strecke kannst du mit Hilfe des Pythagoras benennen.
29.12.2011, 21:17	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe mir das ganze einmal aufgezeichnet... Wie mit Pytagoras benennen???
29.12.2011, 21:19	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst die Länge der zweiten Strecke nur indirekt durch die beiden Katheten ausdrücken.
29.12.2011, 21:22	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme an die Strecke BC ist meine Nebenbedingung und die Strecke AB meine Hauptbedingung oder? Trotzdem habe ich noch immer nicht verstanden, wie du das mit dem Pythagoras meinst...
29.12.2011, 21:26	Hoodaly	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau mal hier: $\begin{eqnarray} Preis=x_040+A'B90 \end{eqnarray}$ LG Hoodaly Edit: Natürlich 60m, nicht 160
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29.12.2011, 21:32	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Grafik von Hoodaly mal ein bisschen ergänzt: [attach]22500[/attach] Ansonsten wäre ich Hoodaly dankbar, wenn er sich aus dem Thread raushalten würde.
29.12.2011, 21:35	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du mir die Grafik erklären? Ich weiß noch immer nicht so recht, was ich machen soll...
29.12.2011, 21:39	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst doch einen Weg finden, ich habe ihn (in der veränderten Grafik) mal orange und lila gezeichnet. Den lila Weg kannst du nicht direkt darstellen, du musst dazu die Katheten (rot und grün) verwenden, deren Länge kannst du beschreiben, Hoodaly hat dir das schon abgenommen.
29.12.2011, 21:44	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde die lila Linie so darstellen: c²=(120-x0)²+60²
29.12.2011, 21:51	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich auch, allerdings würde ich noch die Wurzel ziehen.
29.12.2011, 21:53	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, aber was soll ich jetzt machen. Eine Nebenbedingung aufstellen?
29.12.2011, 21:57	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die brauchst du nicht, weil du nur eine Variable hast: das xo. Du kannst gleich die Funktionsgleichung aufstellen, die du ableiten willst.
29.12.2011, 22:00	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
c²=(120-x0)²+60² Ist das schon meine Gleichung, die ich ableiten soll?
29.12.2011, 22:02	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist nur die Beschreibung des Quadrates der lila Strecke. Wie gesagt, da musst du noch eine Wurzel einfügen. Weiterhin fehlt die erste Strecke und dann musst du auch noch berücksichtigen, dass die Strecken unterschiedlich viel kosten. Auch da hat Hoodaly schon zu viel verraten...
29.12.2011, 22:11	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 40x0+(\sqrt{(120-x0)^2+60^2})90 \end{eqnarray}$
29.12.2011, 22:15	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
So gefällt es mir besser: $\begin{eqnarray} K(x)= 40x0+(\sqrt{(120-x0)^2+60^2})90 \end{eqnarray}$ Ich habe es mal K(x) für Kostenfunktion genannt.
29.12.2011, 22:16	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Und jetzt einfach differenzieren oder soll ich vorher vereinfachen?
29.12.2011, 22:19	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Da kann man leider nichts vereinfachen. Du musst die Funktion so, wie sie ist, ableiten.
29.12.2011, 22:26	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube nicht, dass ich richtig abgeleitet habe: 40+(1/2)(((120-xo)^2+60^2)2(120-x0))90
29.12.2011, 22:33	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieder keine Gleichung, nur ein Term... Es fehlt eigentlich nur das ^(-1/2) : K'(x) = 40+(1/2)[((120-xo)^2+60^2)^(-1/2)]2(120-x0)90
29.12.2011, 22:37	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich jetzt gleich mal (1/2) rechnen um das (-1/2) wegzubekommen?
29.12.2011, 22:43	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das bekommst du nicht so wirklich weg. Ich würde die 40 noch auf den Bruchstrich bringen (mit dem Nenner erweitern), dann kann der Nenner wegfallen, wenn du die Gleichung 0 gesetzt hast. Ich hoffe, du hast einen guten Taschenrechner.
29.12.2011, 22:54	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
((120-xo)^2+60^2)^(-1/2)] Was soll ich nur mit dem machen? Alles hoch (-1/2) rechnen???
29.12.2011, 22:57	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist doch dein Nenner.
29.12.2011, 22:58	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwischenergebnis: 40+90(14400-240x0+x0^2+3600)^(-1/2)(120x0)
29.12.2011, 23:04	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich die Wurzel ziehen?
29.12.2011, 23:08	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, wir sollten mal den Formeleditor verwenden, das ist alles furchtbar unübersichtlich. $\begin{eqnarray} K'(x) = 40+\frac{1}{2} \cdot \frac{2\cdot (120-x_0)\cdot 90}{\sqrt{(120-x_0)^2+60^2} } \end{eqnarray}$ Das hast du jetzt vereinfacht zu: $\begin{eqnarray} K'(x) = 40+\frac{(120-x_0)\cdot 90}{\sqrt{(14400-240x_0+x_0^2+3600} } \end{eqnarray}$ Ich habe schon gesagt, was du machen sollst: Bringe die 40 auf den Bruchstrich, setze die Funktion = 0 und multipliziere mit dem Nenner. Der fällt dann weg.
29.12.2011, 23:16	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt ich habe dann: $\begin{eqnarray} 40\sqrt{4400-240x0+(x0)^2+3600}+(120-x0)90 \end{eqnarray}$
29.12.2011, 23:23	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieder nur ein Term... Außerdem ist dir eine 1 (von 14400) abhanden gekommen. Du kannst die Summanden in der Wurzel noch zusammenfassen. Danach wird es entweder eine große Rechnerei geben oder ein guter TR rechnet dir das x aus.
29.12.2011, 23:24	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Schule ist leider der Meinung, dass wir so einen mordernen Taschenrechner nicht brauchen...
29.12.2011, 23:30	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das eine Aufgabe, die du für die Schule lösen musst? Dann wirst du noch ein bisschen rechnen müssen. Bringe alles bis auf die Wurzel auf eine Seite der Gleichung(!), dann quadriere beide Seiten. Ich werde allerdings nicht mehr so lange hier bleiben. Können wir morgen weitermachen? Vielleicht springt aber auch jemand anderes ein.
29.12.2011, 23:33	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, gute Nacht! Und vielen, vielen Dank!!!!
29.12.2011, 23:37	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen. Wie gesagt, wir können morgen gerne zu Ende rechnen.
29.12.2011, 23:58	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Auflösung der Gleichung gelingt wesentlich leichter (ohne TR!), wenn du den Term 120 - x0 durch eine andere Variable, z.B. u substituierst (ersetzt): $\begin{eqnarray} 120 - x_0 = u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4 \sqrt{u^2 + 3600} = 9u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 16(u^2 + 3600) = 81u^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to u \ \to x_0 \end{eqnarray}$ mY+
30.12.2011, 01:14	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Wer eher kein großer Wurzelfan ist, kann sich alternativ auch noch etwas mittels Trigonometrie basteln, also eine Zielfunktion in Abhängigkeit eines entsprechenden Winkels aufstellen.
30.12.2011, 11:07	JuliaJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich habe mir das Ganze von gestern noch einmal angeschaut und mir ist folgendes nicht klar: K'(x) = 40+(1/2)[((120-xo)^2+60^2)^(-1/2)]2(120-x0)90 Wieso muss ich das (120-x0) nicht auf noch einmal ableiten?
30.12.2011, 11:42	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil das schon die innere Ableitung der Wurzel ist. Die Funktionsgleichung lautete ja: $\begin{eqnarray} K(x)= 40\cdot x_0+90 \cdot \sqrt{(120-x_0)^2+60^2} \end{eqnarray}$ bzw: $\begin{eqnarray} K(x)= 40\cdot x_0+90 \cdot \sqrt{18000-240x_0+x_0^2} \end{eqnarray}$
30.12.2011, 12:12	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmals: Es bietet sich - zur Vermeidung umfangreicherer Rechnung - dringend an, den Term (120 - x_0) durch eine neue Variable zu ersetzen, wie bereits vorgerechnet ...
30.12.2011, 13:19	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, danke mYthos, dein Weg ist wirklich kürzer und eleganter durch die Substitution. Allerdings wird es auch nicht so ganz ohne TR gehen: Die Wurzel aus 11520/13 möchte ich nicht zu Fuß ziehen müssen.

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