Funktionenfolge auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz untersuchen

12.01.2007, 17:43

lonesome-dreamer

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Funktionenfolge auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz untersuchen

Hallo zusammen,
die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{x+nx^2+nx}{1+nx} \end{eqnarray*}$ soll auf den Intervallen $\begin{eqnarray*} I_1=[0, \infty) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} I_2=[a, \infty) , a>0 \end{eqnarray*}$ auf punktweise und auf gleichmäßige Konvergenz untersucht werden.
Die Definitionen von punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz sind mir bekannt.
punktweise: $\begin{eqnarray*} f_n(x)=f(x) \end{eqnarray*}$

gleichmäßig: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} sup{|f_n(x)-f(x)|=0} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nun leider nicht wie ich anfangen soll.
Kann mir bitte jemand einen Tipp geben?

Gruß
Natalie

13.01.2007, 12:45

Dual Space

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RE: Funktionenfolge auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz untersuchen
Zur Untersuchung der punktweisen Konvergenz, berechnest du einfach den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f_n(x)=\frac{x+nx^2+nx}{1+nx} \end{eqnarray*}$

für festes x.

13.01.2007, 13:06

lonesome-dreamer

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Als Grenzwert bekomme ich dann $\begin{eqnarray*} x+1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist der Grenzwert $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .
Und wie weiß ich nun, ob die Funktionenfolge punktweise konvergiert?

13.01.2007, 13:17

Dual Space

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Zitat:

Original von lonesome-dreamer
Als Grenzwert bekomme ich dann $\begin{eqnarray*} x+1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist der Grenzwert $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

Also
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f_n(x)=\begin{cases} x+1 &: x>0\\ 0 &: x=0\end{cases} \end{eqnarray*}$

Nun versuch die gleichmäßigen Konvergenz.

Edit: Denk mal an den Satz von Dini. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.01.2007, 13:46

lonesome-dreamer

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Dann ist $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\begin{cases} x+1 &: x>0\\ 0 &: x=0\end{cases} \end{eqnarray*}$ die Funktion gegen die die Funktionenfolge punktweise konvergiert?

Laut dem Satz von Dini muss f stetig und monoton sein, oder?
Ich hänge gerade beim Beweis für die Monotonie:
$\begin{eqnarray*} f_n(x)\leq f_{n+1}(x) \end{eqnarray*}$

14.01.2007, 11:14

lonesome-dreamer

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Also, ich habe gerade gesehen, dass die Funktion nicht stetig ist. Folglich ist die Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergent.
Stimmt das?

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14.01.2007, 15:43

Dual Space

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Zitat:

Original von lonesome-dreamer
Also, ich habe gerade gesehen, dass die Funktion nicht stetig ist. Folglich ist die Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergent.
Stimmt das?

Nein, nicht unbedingt.

Du kannst aber nachrechnen, dass z.B. für $\begin{eqnarray*} I_2 \end{eqnarray*}$ folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I_2}|f_n(x)-f(x)|=1 \end{eqnarray*}$

und was das bedeutet weißt du ja. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.01.2007, 16:14

lonesome-dreamer

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Zitat:

und was das bedeutet weißt du ja. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da der Grenzwert 1 ist und nicht 0 ist die Bedingung für gleichmäßige Konvergenz nicht erfüllt, oder?

Und wie ist es dann im Intervall $\begin{eqnarray*} I_1 \end{eqnarray*}$ , wenn die Funktionenfolge nicht unbedingt stetig sein muss, um gleichmäßig zu konvergieren?

14.01.2007, 16:55

Dual Space

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Wenn sie auf $\begin{eqnarray*} I_2 \end{eqnarray*}$ nicht glm. konvergiert, dann auch nicht auf $\begin{eqnarray*} I_1\supset I_2 \end{eqnarray*}$ .

14.01.2007, 18:34

lonesome-dreamer

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Jetzt seh ich aber gerade in der Lösung, dass die Funktionenfolge auf $\begin{eqnarray*} I_2 \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergiert.
Lösungsvorschlag:
$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|=\left|\frac{-1}{1+nx}\right| \leq \frac{1}{1+na} \end{eqnarray*}$

Ich bin jetzt ehrlich gesagt ein bisschen verwirrt.

verwirrt

Was stimmt denn nun?

14.01.2007, 19:26

Dual Space

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Zitat:

Original von lonesome-dreamer
Lösungsvorschlag:
$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|=\left|\frac{-1}{1+nx}\right| \leq \frac{1}{1+na} \end{eqnarray*}$

Sorry lonesome ... stimmt so wie es in deiner Lösung steht. Ich sollte aufhören sowas im Kopf zu überschlagen. unglücklich

unglücklich

Naja ... ist dir jetzt klar, warum die Lösung die glm. Konvergenz liefert?

14.01.2007, 20:13

lonesome-dreamer

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Zitat:

Naja ... ist dir jetzt klar, warum die Lösung die glm. Konvergenz liefert?

Nein, leider nicht.
Ich verstehe nicht, wie man das so machen kann:
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{-1}{1+nx}\right| \leq \frac{1}{1+na} \end{eqnarray*}$
Und warum folgt daraus gleichmäßige Konvergenz?

14.01.2007, 22:01

Dual Space

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Es gilt $\begin{eqnarray*} \sup_{x\geq a}\left|\frac{-1}{1+nx}\right|=\frac{1}{1+na} \end{eqnarray*}$ und daraus folgt dann schon die Ungleichung aus deinem letzten Post.

Und weil $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+na}\to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ hast du glm. Konvergenz.

14.01.2007, 22:09

lonesome-dreamer

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Zitat:

und daraus folgt dann schon die Ungleichung aus deinem letzten Post.

Aber warum?
Ich kann einfach nicht nachvollziehen, wie man darauf kommt. unglücklich

unglücklich

14.01.2007, 23:38

Marcyman

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Denk an das Supremum als (kleinste) obere Schranke. Daraus folgt doch direkt die Ungleichung.

Übrigens ist die Argumentation "Funktionen der Folge stetig, Grenzfunktion nicht stetig --> Funktionenfolge konv. nicht glm" für $\begin{eqnarray*} I_1 \end{eqnarray*}$ zulässig.

15.01.2007, 08:21

Dual Space

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Noch mal ganz einfach:

Sei $\begin{eqnarray*} S:=\sup_{x\in X}f(x) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt immer $\begin{eqnarray*} S\geq f(x) \end{eqnarray*}$ und zwar für alle $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ .

Nochmal sorry für die Verwirrung die ich gestiftet habe ... fühle mich an deinem Zustand nicht ganz unschludig. traurig

traurig

15.01.2007, 16:53

lonesome-dreamer

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Ok, das hab ich jetzt verstanden.
Danke.

Dann hätte ich noch eine allgemeine Frage. Wenn ich eine beliebige Funktionenfolge auf punktweise Konvergenz untersuchen möchte, berechne ich einfach den Grenzwert, sofern existent?

Zitat:

Nochmal sorry für die Verwirrung die ich gestiftet habe ... fühle mich an deinem Zustand nicht ganz unschludig. traurig

traurig

Ist doch kein Problem. Ich war davor ja auch schon ratlos.

15.01.2007, 16:57

Dual Space

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Zitat:

Original von lonesome-dreamer
Wenn ich eine beliebige Funktionenfolge auf punktweise Konvergenz untersuchen möchte, berechne ich einfach den Grenzwert, sofern existent?

Ja genau ... und zwar immer für festes x. Wenn du diese (punktweise) Grenzfunktion hast, kannst du gegebenfalls überprüfen, ob die Folge auch glm. gegen diese Funktion konvergiert.

15.01.2007, 19:55

lonesome-dreamer

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Ich danke dir vielmals für deine Hilfe.

Gruß
Natalie

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