Eigenwert mit 2 Eigenvektoren?

Neue Frage »

holsair Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert mit 2 Eigenvektoren?
Meine Frage:
Die Aufgabe ist von folgender Matrix die Eigenwerte und Eigenvektoren zu berechnen:




Meine Ideen:
Also ich bekomme als Eigenwerte -2, 4, 4 raus.
Gut. Wenn ich jetz den Eigenvektor von 4 berechnen will komme ich auf folgende Matrix:


Aber ich habe einfach überhaupt keine Ahnung wie ich dieses Gleichungssystem lösen sollte. Laut einem Online-Rechner kommen 2 Eigenvektoren raus. Jedoch zeigt dieser mir den Rechenweg nicht an.

Bin für jede Hilfe dankbar smile
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Die Eigenwerte sind soweit richtig. Den Umstand, dass 4 doppelt vorkommt bezeichnet man mit: 4 hat algebraische Vielfachheit 2. Daher kann (muss er aber nicht) der Eigenraum (die Menge aller Eigenvektoren zum EW ) auch zweidimsional sein, sprich es zwei linear unabhängie EV geben. Und das ist hier der Fall. Das linear unabhängig verschluckt man (ich auch) immer gern. (die skalaren vielfachen eines EV sind immer auch EV; damit kömmen durchaus mehr als 2 zustande).
Zitat:

ist kein Gleichungssystem sondern eine Matrix. Du musst hier den Lösungsraum von Bx=0 bestimmen (B sei obige Matrix). Das geht über Gauß, der dir hoffentlich bekannt ist.
holsair Auf diesen Beitrag antworten »

Also wie man die Eigenvektoren normalerweise ausrechnet ist mir bekannt, auch das mit der algebraischen Vielfachheit.

Danke mal für den Tipp mit dem Gauß.
Bin mir jetzt nicht sicher ob ich's richtig gmacht hab aber am Ende bleibt bei mir dann folgende Matrix übrig:


Wär dann ja die Gleichung -x + 2y + z = 0
Damit kann ich halt weiter nichts mehr anfangen.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Der Gauß-Algorithmus wird für mein dafürhalten nicht einfacher wenn man es zurückübersetzt in eine lineare Gleichung. Du kannst ihn offenbar anwenden, wenn nur eine Nullzeile vorkommt (eindimensionaler Eigenraum). Hier hast du halt statt einer zwei frei wählbare Stellen.

Kleine Probe aufs Exempel:
Lösungsraum von ?
holsair Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt das jetzt im Prinzip ich kann mir 2 Variablen aussuchen die ich 0 setze?
Und für eine von den beiden die übrig bleiben darf ich z.B. "t" einsetzen?
Mit dieser Variante würde ich zumindest auf die Lösungen kommen die mir der Online-Rechner anzeigt =D
Aber da stellt sich mir wieder die Frage woher ich wissen sollte welche Variablen ich 0-setzen kann?
Oder bin ich da jetzt komplett am Holzweg? ^^
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von holsair
Heißt das jetzt im Prinzip ich kann mir 2 Variablen aussuchen die ich 0 setze?
Und für eine von den beiden die übrig bleiben darf ich z.B. "t" einsetzen?

Also z.B. ? das ist aber nur für t=0 eine Lösung und das ist uninteressant. Aber da du auf Lösungen kommst meinst du wohl was anderes.

Die Variablen die du 0-setzen kannst sind die bei denen kein Treppensprung vorhanden ist. (in der letzten Zeile zu dieser Variable mit Nicht-0 Eintrag zu dieser Variable steht irgendwo links davon noch eine Zahl, die ebenfalls nicht 0 ist). Das Gauß-Verfahren auch in diesen Fällen sollte am Anfang deines Vorlesungsskripts sein und auch das Vorgehen in diesen fällen aufzeigen.
 
 
holsair Auf diesen Beitrag antworten »

Einen Fall wie diesen haben wir leider noch nicht behandelt und im Skript habe ich auch nichts gefunden.
Werd mir das Morgen nochmal in Ruhe anschauen. Vielleicht komm ich ja auf einen nachvollziehbare Lösung.

Ich danke für deine Hilfe =)
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft Dir folgende Sichtweise etwas mehr:
Die Gleichung lässt sich umformen in , so dass die Lösungsvektoren also die Gestalt



haben. Wenn Du diesen Vektor so aufteilst, dass der y- und z-Anteil einzelnd steht, hast Du den Lösungsraum in einer Form an der man problemlos unabhängigen Eigenvektoren ablesen kann.
Vergleich diese danach mit der Matrix und Du siehst, dass man auf diesem längeren Weg ebenfalls auf die von galoisseinbruder angesprochene Lösung kommt. Eventuell verstehst Du dabei auch, wieso man den kürzeren Weg nimmt, wenn man schon ein bisschen mit Matrizen gearbeitet hat.
holsair Auf diesen Beitrag antworten »

@Helferlein:

Danke vielmals!
Hat mir geholfen =)
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »