Finite-Volumen-Verfahren - Verständnisfragen

01.01.2012, 23:57	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
Finite-Volumen-Verfahren - Verständnisfragen Hallo. Ich arbeite das Thema "Finite-Volumen-Verfahren" durch und habe ein paar Grundlegende Verständnisfragen. Ich betrachte im folgenden nur den Fall einer PDGL, bei der die exakte Lösung u(t,x) nur von den Variablen t,x > 0 abhängt.... Idee der Finiten-Volumen-Verfahren: 1. Teile den Ortsraum in Finite Volumen = Zellen ein nach der Vorschrift: $\begin{eqnarray} x_i = (i - \frac{1}{2}) \triangle x \end{eqnarray}$ Eine Zelle ist dann: $\begin{eqnarray} C_i=[x_{i-\frac{1}{2}} , x_{i+\frac{1}{2}}] \end{eqnarray}$ 2. Die Zeit wird diskretisiert durch $\begin{eqnarray} t_n = n \triangle t \end{eqnarray}$ 3. Der Zellmittelwert wird definiert durch: $\begin{eqnarray} u_i^n = \frac{1}{\triangle x_i} \int_{x_{i-\frac{1}{2}}}^{x_{i+\frac{1}{2}}} u(x,t_n)dx \end{eqnarray}$ 4. Die exakte Lösung u wird nicht an den Gitterpunkten approximiert (wie etwa bei Finiten Differenzen), sondern man sucht nach einer globalen Annäherung von u. 5. Integration über Ort und Zeit führt auf eine "update" Formel - je nach DGL verschieden. Beispiel: $\begin{eqnarray} u_i^{n+1} = u_i^n - \frac{\triangle t}{\triangle x} (F_{i+\frac{1}{2}}^n-F_{i-\frac{1}{2}}^n) \end{eqnarray}$ hierbei ist $\begin{eqnarray} F_{i+\frac{1}{2}}^n \approx \frac{1}{\triangle t} \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(u(x_{i+\frac{1}{2}},t))dt \end{eqnarray}$ eine Approximation des Flussintegrals. Meine Fragen: 1. Habe ich das richtig verstanden: man sucht bei FV nicht nach diskreten approximativen Werten an Gitterpunkten, sondern nach einer approximativen Funktion, die die exakte Funktion annähert? 2. Wie erhalte ich die Zellmittelwerte? Angenommen, ich möchte das Verfahren in matlab programmieren. Muss ich dann die Integrale approximieren durch z.B. Trapezregel.... oder wie geht man damit um? Außerdem muss ich ja ein Integral berechnen von einer Funktion, die ich ja gerade wissen will... Wie geht das? 3. Angenommen, ich habe einen Zellmittelwert $\begin{eqnarray} u_i^n \end{eqnarray}$ . In welcher Beziehung steht dieser zur Zelle $\begin{eqnarray} C_i \end{eqnarray}$ ? Ist $\begin{eqnarray} u_i^n \end{eqnarray}$ als konstante Funktion über der Zelle $\begin{eqnarray} C_i \end{eqnarray}$ anzusehen? Dann wäre ja die approximative Funktion eine Funktion, die aus stückweise konstanten Funktionen zusammengesetzt ist. 4. Außerdem: wie kann ich von $\begin{eqnarray} u_i^n \end{eqnarray}$ , was ja ein gemitteltes Integral ist, auf u schließen? 5. Wenn ich nun die Approximation graphisch darstellen möchte, wie mache ich das? Muss da jede einzelne Zelle einzeln betrachtet werden? Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Auch über eine Bemerkung oder Vermutung wäre ich schon froh. lg frieder

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