Injektiv oder surjektiv |
02.01.2012, 01:16 | Shiu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Injektiv oder surjektiv Sind die folgenden Abbildung R² -> R² injektiv oder surjektiv (1) f: (x,y) -> (y+2,x-1) (2) f: (x,y) -> (xy,x+y) Meine Ideen: (1) Ist Injektiv, weil die 0 ausgeschlossen wird x = y+2 (2) Ist Surjektiv x1 = x2*y2 d.h 12 = 4*3 oder 12= 3*4 usw. Analog auch für x+y Ist das so richtig? |
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02.01.2012, 01:21 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da ist kaum brauchbares bei. Warum sollte die erste Abbildung injektiv sein, weil "die 0 ausgeschlossen" wird? Und dein Beispiel bei der zweiten Abbildung ist auch nicht hilfreich, ein Beispiel kann nie ein Beweis sein. Wie lauten die Definitionen für injektiv/surjektiv? Mit diesen musst du hier arbeiten. |
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02.01.2012, 12:37 | Shiu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich weiß schon was Injektiv und Surjektiv bedeuted ..aber wie sollte ich, das den beweisen? |
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02.01.2012, 12:44 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es reicht nicht aus, die Bedeutung einfach irgendwie zu kennen, bei solchen Aufgaben muss man sehr häufig mit dem exakten Wortlaut der Definition arbeiten. Fang einmal bei der ersten Funktion mit der Injektivität an, schreib dir die Definition der Injektivität auf. Dort steht auch drin, was du bei der Funktion überprüfen musst, die Definition liefert dir also direkt ein mögliches Vorgehen. |
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02.01.2012, 15:25 | Shiu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Injektivität: Für alle gilt kann ich das so umstellen: x -> y+2 und y->x-1 x -> x-1+2 = x+1 ?? Auch und noch was ist R² nur positiv ?? |
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02.01.2012, 17:46 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, das kannst du nicht so umstellen, wieso sollte das auch so funktionieren? Auch ist nicht "nur positiv". , die Einträge können also jede beliebige reelle Zahl sein. Desweiteren macht es hier nur bedingt Sinn, von "positiven" Zahlen zu sprechen. Wir nehmen uns also mal zwei Elemente aus , etwa und wir setzen voraus, dass gilt. Wie sehen dann die Funktionswerte unter der Abbildung aus? Sind die Funktionswerte gleich? Warum/Warum nicht? |
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02.01.2012, 18:54 | Shiu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn so gilt auch weil ja daraus folgt für alle Das ist ja die Injektivität. Dennoch kann es Surjektiv sein: Da es für jedes ist es auch surjektiv. Also ist die Abbildung bijektiv? |
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02.01.2012, 19:00 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Abbildung bildet aber doch nicht nur ab, achte da noch einmal drauf und überarbeite deinen Nachweis der Injektivität. Auch dein Nachweis zur Surjektivität ist noch nicht ausreichend, bisher hast du nichts nachgewiesen sondern nur aufgeschrieben, was du zeigen willst. |
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02.01.2012, 19:42 | Shiu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Injektiv: Wenn so gilt auch weil ja darausfolgt Wenn so gilt auch weil ja darausfolgt Surjektiv: Jeder Funktionswert hat (in diesem Fall) ein eindeutigen x Wert: und Wir können ausschließen das |
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02.01.2012, 19:59 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
In Iorek´s Abwesenheit übernehme ich mal, wobei ich eigentlich auch nur das sage was Iorek bereits gesagt hat: f bildet hier Tupel (x,y) auf andere Tupel ab. Ein ist hier nicht definiert, nur f(x,y). Wenn du das eingesehen hast ist dein Injektivitätsbeweis noch rettbar, denn Zur Surjektivität: kein nie vorkommen, denn f(x,y) ist für alle definiert, als ein spezielles Element von Die Formel ist schon mal richtig, wobei die Buchstaben im Kontext deiner Aufgabe verwiirend sind, da dort x,y bereits verwendet werden. Ich schreib´s mal für diesen Fall um: Wie kann (x,y) in Abhängigkeit von (a,b) gewählt werden? |
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02.01.2012, 20:58 | Shiu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
(x-2,y+1) |
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02.01.2012, 21:03 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da muss was stehen in der Form (x,y)=... wobei auf der rechten Seite nur a, b, Zahlen und Rechenzeichen vorkommen durfen. Übrigens ist f(x-2,y+1)=(y+3, x-1) und nicht das von dir wahrscheinlich erhoffte (x,y). |
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02.01.2012, 21:17 | Shiu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
(x,y) = (a+1,b-2) |
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02.01.2012, 21:22 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Fast, denn f(b+1,a-2)=(a-2+2, b+1-1)=(a,b). Da wir ein Urbild zu jedem Tupel ein Urbild gefunden haben, nämlich (b+1,a-2), ist f surjektiv. |
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02.01.2012, 21:37 | Shiu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also : Beim ersten Tupel nimmst du die 1.Komponete und setzt sie beim 2 Tupel in die 2. Komponete ein. Also hätte ich nach meiner Aussage f(a+1,b-2) = (b-2+2,a+1-1) =(b,a) und hätte ich: f(a+1,b-2) = (a+3+1,b-2+2,a+1-1) =(a+4,b,a) wobei das wenig Sinn machen würde.. Ach und wenn mein Urbild herstellt, beweist man ja eig. die Bjiektivität? |
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02.01.2012, 21:43 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig.
Das ist auch vollkommen richtig. Allerdings ist mir unklar wieso das keinen Sinn ergeben soll.
Auch wenn ich keine Ahnung habe was die erste Satzhälfte heißt: Surjektiv heißt, dass jedes Element der Zielmenge mind. ein Urbild hat. Bijektiv heißt, dass jedes Element der Zielmenge genau ein Urbild hat. |
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02.01.2012, 21:49 | Shiu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aso Danke |
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