LR-Zerlegung mit Spaltenpivot

04.01.2012, 14:44	speedymcs	Auf diesen Beitrag antworten »
LR-Zerlegung mit Spaltenpivot Meine Frage: Hallo, ich habe einen Algorithmus zur LR-Zerlegung mit Spaltenpivot geschrieben. Bei dieser Matrix A ist das Ergebnis falsch, ich verstehe aber nicht, warum und schreibe hier mal vereinfacht die jeweiligen Schritte auf - irgendwas scheine ich zu übersehen: Meine Ideen: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & -2 \\ -2 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Pivot in der ersten Spalte: -2. Erste und vierte Zeile tauschen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 & -1 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun die erste Zeile 0.5-fach von der zweiten und -0.5-fach von der vierten subtrahieren: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 3/2 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & -2 \\ 0 & 3/2 & - 1 & 0 \end{pmatrix}, \mbox{entspricht} L_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ -1/2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1/2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Pivot in der zweiten Spalte: 3, also 2. und 3. Zeile vertauschen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 1 & -2 \\0 & 3/2 & 2 & 1 \\ 0 & 3/2 & - 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun die zweite zeile jeweils 0.5-fach von der dritten und der vierten subtrahieren: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 1 & -2 \\0 & 0 & 3/2 & 2 \\ 0 & 0 & -3/2 & 1 \end{pmatrix} \mbox{entspricht} L_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 &0 & 0 \\0 & -1/2 & 1 & 0 \\ 0 & -1/2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ An dieser Stelle wählt der Algorithmus -3/2 als Pivot, dabei wäre eigentlich ja kein Zeilentausch nötig. Aber sollte ja eigentlich kein Problem darstellen. Also Zeile 3 und 4 getauscht: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 1 & -2 \\0 & 0 & -3/2 & 1 \\ 0 & 0 & 3/2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zeile 3 -1-mal von Zeile 4 subtrahieren: $\begin{eqnarray} R = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 1 & -2 \\0 & 0 & -3/2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \mbox{entspricht} L_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 &0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Reihenfolge der Zeilen ist nun 4, 3, 1, 2, demnach ist $\begin{eqnarray} P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und wie ich das sehe $\begin{eqnarray} L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 1/2 & 1 &0 & 0 \\0 & 1/2 & 1 & 0 \\ -1/2 & 1/2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Es gilt aber NICHT LR = PA! Warum ist das so?
04.01.2012, 17:14	speedymcs	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LR-Zerlegung mit Spaltenpivot Okay, mit der Matlab-eigenen Funktion lu(A) kann man die Ergebnisse vergleichen. Die Matrix L scheint bei mir oft falsch zu sein, irgendwie müssen da wohl noch Zeilen vertauscht werden, für mein Beispiel ergibt sich bei Matlab zum Beispiel: $\begin{eqnarray} L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\1/2 & 1/2 & 1 & 0 \\ -1/2 & 1/2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ R ist dagegen bisher immer richtig. Wie setzt sich L denn zusammen, ohne jetzt lauter Schritte wie $\begin{eqnarray} P_k L_k P_k^{-1} \end{eqnarray}$ zu rechnen? Ich dachte ich nehme einfach die L1, L2,... Matrizen, ändere die Vorzeichen und setze sie entsprechend zu L zusammen, aber mit Zeilenvertauschung geht das so anscheinend ja nicht.

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