Tschebyschev-Ungleichung

04.01.2012, 17:03

loyloep

Tschebyschev-Ungleichung

Eine Münze mit P(Kopf) = p, 0 =< p =< 1, wird 20 mal geworfen und zeigt 15 mal Kopf. Bestimmen Sie p so, dass dieses Resultat mit Wahrscheinlichkeit 80% noch plausibel ist.

Für die Tschebyschev-Ungleichung gilt: $\begin{eqnarray*} P(| X - E(X) | \geq k ) \leq \frac{Var(X)}{k^2} \end{eqnarray*}$ .

Wie geht man bei der BErechnung vor? Mir fehlt der Ansatz.

05.01.2012, 13:02

Math1986

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RE: Tschebyschev-Ungleichung
Du kannst schonmal überlegen, wie $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ verteilt ist, und wie sich folglich $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Var(X) \end{eqnarray*}$ berechnen (in Abhängigkeit von p jeweils).

Ist das so die komplette Aufgabe, so wie du sie bekommen hast?

05.01.2012, 16:26

loyloep

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RE: Tschebyschev-Ungleichung

Zitat:

Original von Math1986
Ist das so die komplette Aufgabe, so wie du sie bekommen hast?

Ja, das ist die gesamte Aufgabenstellung.

Zitat:

Original von Math1986
Du kannst schonmal überlegen, wie $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ verteilt ist, und wie sich folglich $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Var(X) \end{eqnarray*}$ berechnen (in Abhängigkeit von p jeweils).

Hier handelt es sich um eine Binomialverteilung. Demnach berechnet sich der Erwartungswert und die Varianz wie folgt: $\begin{eqnarray*} E(X) = np \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Var(X) = np(1-p) \end{eqnarray*}$ .

12.01.2012, 16:02

Move

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Hallo, ich wäre auch an dieser Aufgabe interessiert.
Aber mir ist nicht klar, wie man k bestimmen kann, sodass es den Anforderungen aus der Aufgabenstellung genügt. Für Hilfe wäre ich dankbar!

12.01.2012, 16:13

René Gruber

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Wer sagt denn überhaupt, dass man diese Aufgabe mit Tschebyscheff lösen soll? Tschebyscheff ist gut zur (groben) Abschätzung, wenn man die Verteilung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ überhaupt nicht kennt, sondern nur deren Erwartungswert und Varianz.

Im vorliegenden Fall kennt man $\begin{eqnarray*} X\sim B(n,p) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n=20 \end{eqnarray*}$ , und da ist es direkt "Verschwendung", diese Information nicht zu nutzen.

Ich verstehe die Aufgabenstellung nun so, dass man ein 80%-Konfidenintervall für $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ bestimmen soll, basierend auf dem Stichprobenergebnis 15.

12.01.2012, 16:23

Move

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Danke schon mal für die Antwort.
Leider haben wir Konfidenzintervalle meines Wissens nach noch nicht behandelt. Und auf dem Aufgabenzettel steht neben der Aufgabe "Tschebyschev-Ungleichung". So wir uns das Denken ein bisschen abgenommen. Augenzwinkern

EDIT: Ich müsste diese Aufgabe also doch mit der Tschebyschev-Ungleichung lösen. Die Varianz hat ja mein Vorredner schon (meiner Ansicht nach korrekt) angegeben. Dafür kann man auch das das n verwenden... Was ist jetzt eigentlich überhaupt gesucht und wie bestimme ich k?
Evtl. stehe ich hier etwas auf dem Schlauch, die Aufgabe sieht leicht aus...

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