X^p-X+c irreduzibel

04.01.2012, 21:51

mathinitus

X^p-X+c irreduzibel

Hallo Leute, ich will zeigen, dass $\begin{eqnarray*} X^p-X+c \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist, sofern es keine Nullstelle in dem zugrundeliegenden Körper K (mit Charakterisik p>0) hat. Habe mir überlegt, dass es genau dann eine Nullstelle in K hat, wenn es alle p Nullstellen in K hat, aber das zeigt ja nicht, dass es irreduzibel ist, wenn es keine hat. Habt ihr einen Tipp?

04.01.2012, 22:07

juffo-wup

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Nach dem was du sagst, hast du ja sicher schon beobachtet, dass wenn $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle des Polynoms ist, $\begin{eqnarray*} \alpha+1,\alpha+2,..,\alpha+p-1 \end{eqnarray*}$ die restlichen sind.
In einem geeigneten Erweiterungskörper gilt also
$\begin{eqnarray*} X^p-X+c=\sum_{i=0}^{p-1}(X-(\alpha+i)) \end{eqnarray*}$
Sei nun $\begin{eqnarray*} \varphi\in K[X] \end{eqnarray*}$ ein normierter irreduzibler Faktor vom Grad $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} X^p-X+c \end{eqnarray*}$
Dann gilt in diesem Erweiterungskörper $\begin{eqnarray*} \varphi(X)=\sum_{k=1}^r(X-(\alpha+i_k)) \end{eqnarray*}$ für gewisse verschiedene $\begin{eqnarray*} i_k\in \{0,1,..,p-1\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1\leq r\leq p \end{eqnarray*}$
Versuche mittels dieser Darstellung von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ zu beweisen, dass $\begin{eqnarray*} r=p \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \alpha\in K \end{eqnarray*}$ sein muss.

04.01.2012, 23:33

mathinitus

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Danke.

Ich glaube, ich habs mit der Hilfe von dir. Du meintest sicher das Produktzeichen anstelle der Summenzeichen, oder?

Sei also $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^r(X-(\alpha+i_k)) \end{eqnarray*}$ irreduzibel und aus K[X]. Dann ist es ein Polynom vom Grad r. der Koeffizient von $\begin{eqnarray*} X^{r-1} \end{eqnarray*}$ berechnet sich zu
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^r -(\alpha+i_k)=-r\alpha -\sum_{i=1}^r i_k=-r\alpha+k \end{eqnarray*}$
wobei k aus K kommt. Also muss auch $\begin{eqnarray*} r\alpha \end{eqnarray*}$ aus K sein, folglich ist r=p.

05.01.2012, 00:53

juffo-wup

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Zitat:

Original von mathinitus
u meintest sicher das Produktzeichen anstelle der Summenzeichen, oder?

Ja. Keine Ahnung, warum ich das verwechselt habe.

Zitat:

Also muss auch $\begin{eqnarray*} r\alpha \end{eqnarray*}$ aus K sein, folglich ist r=p.

..falls $\begin{eqnarray*} \alpha\not\in K \end{eqnarray*}$ , genau. Freude

Das mit dem (r-1)-ten Koeffizienten ist glaube ich auch der schnellste Weg die Aufgabe zu lösen.

05.01.2012, 10:35

mathinitus

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Jo, super.

Ich hatte zwar vorher schon an dieses Produkt auch selbst gedacht, nur habe ich wohl nicht so angestrengt drüber nachgedacht, weil ich ja nicht wusste, ob es zum Ziel führt Wink

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