Ganzrational oder nicht?

05.01.2012, 12:20

Geniuz

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Ganzrational oder nicht?

Hallo zusammen,

ich bin neu hier und habe eine Frage. Wink

Wink

Wink

Woher weiß ich, ob eine Funktion ganzrational ist oder nicht?

Könnt ihr mir bitte eine Liste geben, oder Dinge aufzählen, an denen ich fest machen kann, ob eine Funktion ganzrational ist oder nicht?

Ich muss in der 10. Klasse ein Häckchen ausfüllen, ob sie ganzrational ist oder nicht und dahinter eine kurze Begrüdnung formulieren.

Ich weiß bisher, dass der Exponent eine natürliche Zahl sein muss und nicht im Bruch stehen darf.

Liebe Grüße
Geniuz.

05.01.2012, 12:36

mathinitus

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Wenn du die Funktion so schreiben kannst

$\begin{eqnarray*} f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = \sum_{i=0}^n a_i x^i \end{eqnarray*}$

ist sie ganzrational, also ein Polynom.

05.01.2012, 12:42

Geniuz

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danke, darüber war ich mir jedoch schon im Klaren.
Ich bin aber noch nicht auf einem solchen mathematischen Level, dass ich jegliche Fkt so umformen kann:

Bsp:

3x/3x^3 - 3x

der Exponent steht im Bruch. Also nicht ganzrational.

oder diese Funktion

x^3/3 - Wurzel 3 * x

Sie ist ganzrational Tanzen

Tanzen

Wie auch immer, kannst du mir bitte einige Übungen schreiben, die ich folglich auf ganzrationalität überprüfe?

LG
Geniuz

05.01.2012, 15:25

mathinitus

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Zitat:

Original von Geniuz

Wie auch immer, kannst du mir bitte einige Übungen schreiben, die ich folglich auf ganzrationalität überprüfe?

LG
Geniuz

Ja klar:

$\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{x^3+7x^2}{x^2+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \exp(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^2-x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 19 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^3-4)(x^7+16)(x^{12}-\pi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 19x-x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2^x+x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{x^3+x^7}{x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{(x^2+1)x^5}{2x^2+2} \end{eqnarray*}$

06.01.2012, 11:29

Geniuz

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geht das auch einfacher?
Die eulersche Zahl ist mir noch nicht im Matheunterricht begegnet und auch sonst sind die Beispiele nicht auf unserem Mathematik-Unterrichts-Niveau, wenn man das so sagen darf.

b2w: Die 7 ist ganzrational.

06.01.2012, 11:57

mathinitus

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Die eulersche Zahl ist einfach eine bestimmte reelle Zahl. Mehr muss man für diese Aufgabe nicht über e wissen.

PS: Also die 3 darfst du dann weglassen.

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06.01.2012, 19:58

Geniuz

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1) nicht ganzrational
2) nicht ganzrational
3) nicht ganzrational

4) ganzrational
5) ganzrational
6) ganzrational
7) ganzrational
8) ganzrational

9) nicht ganzrational
10) nicht ganzrational

06.01.2012, 20:32

mathinitus

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Die 10 schon.

06.01.2012, 20:38

chrizke

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Die 9 auch.

06.01.2012, 20:45

mathinitus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von chrizke
Die 9 auch.

Die ist ja nicht auf ganz R definiert.

06.01.2012, 20:51

chrizke

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Zitat:

Original von mathinitus

Zitat:

Original von chrizke
Die 9 auch.

Die ist ja nicht auf ganz R definiert.

Das ist laut wiki nicht zwangsweise Vorraussetzung und zweitens handelt es sich ja um eine offensichtlich hebbare Polstelle.

06.01.2012, 20:54

mathinitus

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Es handelt sich überhaupt nicht um eine Polstelle, sondern um eine stetig hebbare Definitionslücke.

06.01.2012, 21:10

chrizke

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Ok gut, mit "stetig hebbare Definitionslücke" als Nomenklatur gebe ich dir recht, das macht es eindeutiger.

Wobei wenn ich mich richtig an meine FuTheo Vorlesung erinnere, spricht man allgemein erstmal von Polstellen.

Diese sprachliche Spitzfindigkeit ändert aber nichts daran, dass es sich bei der 9. um ein Polynom handelt, da man es ja auch in die von dir oben definierte Form bringen kann.

Ebenso ist mir gerade aufgefallen, dass es sich bei der 8. nicht um eine Ganzrationale Funktion handelt - als Anmerkung für den Threaderöffner.

06.01.2012, 21:17

mathinitus

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Zitat:

Original von chrizke
das macht es eindeutiger.

Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von chrizke
Ebenso ist mir gerade aufgefallen, dass es sich bei der 8. nicht um eine Ganzrationale Funktion handelt - als Anmerkung für den Threaderöffner.

Da hast du natürlich recht.

06.01.2012, 21:41

Geniuz

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interessant. In der Tat, hab die 8 irgendwie falsch gesehen, kann ich absolut nachvollziehen.

Bei der 10 dagege nicht. Macht es also nichts aus , wenn im Exponent x^2 steht?

Weitere Fragen: In meinem Buch sind auch Aufgaben, die ich hiermit bearbeitet habe und ich bitte um Korrektur. Zudem müssen wir BEGRÜNDEN, wie wir auf die darauf gekommen sind. Dabei tu ich mir schwer. Könnt ihr mit dabei helfen?

Hier die Aufgaben:

das f(x) lass ich weg.

(x+2)(x^2-4) GANZRATIONAL
1/3x GANZRATIONAL
3^x NICHT GANZRATIONAL
Wurzel x^4 NICHT GANZRATIONAL
(x+2)^8 GANZRATIONAL
2x^4 + 4x^3 - 2x^2 + 1/x GANZRATIONAL (war mir unsicher wegen dem x im Bruch, man kann es ja multiplizieren und in den Zähler packen oder nicht?

Wie gesagt, würde mich freuen, wenn ihr Begründungen hinzufügt.

LG
Geniuz

07.01.2012, 17:14

Geniuz

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keiner Interesse?

wäre unheimlich nett.

07.01.2012, 17:17

mathinitus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Geniuz
keiner Interesse?

wäre unheimlich nett.

Naja, ein bisschen was solltest du schon selbst tun. Wenn du deine Antworten nicht begründen kannst, hast du wohl geraten oder wie?

Was meinst du eigentlich damit?

Zitat:

2x^4 + 4x^3 - 2x^2 + 1/x GANZRATIONAL (war mir unsicher wegen dem x im Bruch, man kann es ja multiplizieren und in den Zähler packen oder nicht?

07.01.2012, 17:28

Christian_P

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Zitat:

Original von mathinitus
Wenn du die Funktion so schreiben kannst

$\begin{eqnarray*} f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = \sum_{i=0}^n a_i x^i \end{eqnarray*}$

ist sie ganzrational, also ein Polynom.

Ist das nicht schön? Das sieht einfach toll aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da geht einem das Herz auf!

Grüße

07.01.2012, 17:42

Geniuz

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Zitat:

Original von mathinitus

Zitat:

Original von Geniuz
keiner Interesse?

wäre unheimlich nett.

Naja, ein bisschen was solltest du schon selbst tun. Wenn du deine Antworten nicht begründen kannst, hast du wohl geraten oder wie?

Was meinst du eigentlich damit?

Zitat:

2x^4 + 4x^3 - 2x^2 + 1/x GANZRATIONAL (war mir unsicher wegen dem x im Bruch, man kann es ja multiplizieren und in den Zähler packen oder nicht?

absoluter Quatsch

Zitat:

Naja, ein bisschen was solltest du schon selbst tun. Wenn du deine Antworten nicht begründen kannst, hast du wohl geraten oder wie?

Ich habe doch die Aufgaben gemacht? Es war auch kein Raten, nur ich weiß nicht wie ich es begründen soll, weil ich i.d.R sofort sehe ob es ganzrational ist oder nicht.

Was ich mit der Funktion meine? Also ich denke, dass diese Fkt ganzrational ist, bin mir aber unsicher ob es richtig ist, deswegen soll das ja auch korrigiert werden.
Stimmen meine Vermutungen oder nicht?

08.01.2012, 10:20

Geniuz

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ist es so schwer die paar Aufgaben zu kontrollieren?

08.01.2012, 11:35

fleurita

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der thread ist so unübersichtlich... was möchtest du denn jetzt ganau wissen bzw. sollen wir kontrollieren?

08.01.2012, 11:53

Geniuz

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hi

also es geht um die Funktionen

das f(x) lass ich weg.

(x+2)(x^2-4) GANZRATIONAL
1/3x GANZRATIONAL
3^x NICHT GANZRATIONAL
Wurzel x^4 NICHT GANZRATIONAL
(x+2)^8 GANZRATIONAL
2x^4 + 4x^3 - 2x^2 + 1/x GANZRATIONAL (war mir
unsicher wegen dem x im
Bruch, man kann es ja
multiplizieren und in den Zähler
packen oder nicht?)

Ich habe hier Funktionen aufgelistet (das f(x) hab ich weggelassen). Daneben habe ich geschrieben ob diese ganzrational sind oder nicht. Ich würde gerne wissen, ob meine Vermutungen stimmen und zusätzlich würde ich gerne eine Begründung haben, wieso diese stimmen. z.B. beim Ersten ist es ja klar, dass wenn man es ausmultipliziert eine Funktion der allgemeinem Polynom Form rauskommt.

08.01.2012, 12:05

fleurita

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ganzrationale funktionen sind einfach funktionen (polynome), bei denen kein x im nenner vorkommt und die potenzen der x'e immer natürliche zahlen sind

deshalb ist, wie du richtig gesagt hast smile

smile

, $\begin{eqnarray*} 3^x \end{eqnarray*}$ keine ganzrationale funktion, $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^4} \end{eqnarray*}$ allerdings schon, da $\begin{eqnarray*} x^4\geq 0 \end{eqnarray*}$ und deshalb $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^4} = x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ...+\frac{1}{x}=...+x^{-1} \end{eqnarray*}$ ist allerdings nicht ganzrational

08.01.2012, 12:15

Geniuz

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ok, danke , was ist den mit dieser Funktion?

Ist sie auch ganzrational?

f(x) = 1 - Wurzel 7 * x^2

08.01.2012, 12:16

mathinitus

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Ja aber er sollte vielleicht noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 3^x \end{eqnarray*}$ nicht auf die Form eines Polynoms gebracht werden kann.

08.01.2012, 12:18

fleurita

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$\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{7x^2} = \sqrt{7}x+1 \end{eqnarray*}$ ist ganzrational

08.01.2012, 12:20

Geniuz

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von fleurita
$\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{7x^2} = \sqrt{7}x+1 \end{eqnarray*}$ ist ganzrational

da muss ich dich leider enttäuschen!
Das ist falsch.

http://de.sevenload.com/sendungen/Mathe-...on-oder-nicht-1

08.01.2012, 12:24

mathinitus

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Zitat:

Original von Geniuz

Zitat:

Original von fleurita
$\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{7x^2} = \sqrt{7}x+1 \end{eqnarray*}$ ist ganzrational

da muss ich dich leider enttäuschen!
Das ist falsch.

http://de.sevenload.com/sendungen/Mathe-...on-oder-nicht-1

Da hat Geniuz recht. Denn es gilt:
$\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{7x^2} = 1+\sqrt{7}|x| \ne \sqrt{7}x+1 \end{eqnarray*}$

08.01.2012, 12:25

fleurita

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stimmt! ihr habt recht

08.01.2012, 12:26

Geniuz

Auf diesen Beitrag antworten »

somit müsste das Wurzel x^4 auch ganzrational sein

08.01.2012, 12:28

mathinitus

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Aber, dass sowas wie $\begin{eqnarray*} 3^x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ kein Polynom ist, muss noch gezeigt werden.

08.01.2012, 12:30

fleurita

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du meinst $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^4} = x^2 \end{eqnarray*}$ ist ganzrational, richtig smile

smile

08.01.2012, 12:34

Geniuz

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Zitat:

Original von mathinitus
Aber, dass sowas wie $\begin{eqnarray*} 3^x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ kein Polynom ist, muss noch gezeigt werden.

weil x im Nenner ist und beim zweitem weils kein Polynom ist. Das müsste als Begründung reichen.

@ fleurita
ja nichts anderes hab ich doch vorher geschrieben

08.01.2012, 12:37

mathinitus

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Zitat:

Original von Geniuz
weil x im Nenner ist und beim zweitem weils kein Polynom ist. Das müsste als Begründung reichen.

Nein, das ist keine Begründung. Wer sagt, dass es durch Umformung nicht doch auf ein Polynom gebracht werden kann?

Schau mal hier:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{x} \end{eqnarray*}$

Da ist x auch im Nenner und dennoch ist es eine ganzrationale Funktion (eben mit einer Definitionslücke).

08.01.2012, 12:41

Geniuz

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dann bin ich überfragt.

08.01.2012, 12:47

mathinitus

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Zitat:

Original von Geniuz
dann bin ich überfragt.

Ja da darf man nun nicht aufgeben, sondern muss sich ein paar Gedanken machen. Zum Beispiel kannst du zeigen, dass die eben genannten Funktionen bestimmte Eigenschaften haben, von denen du nachweisen kannst, dass sie kein Polynom haben kann.

08.01.2012, 12:48

Geniuz

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich es umformen würde, käme nicht die allgemiene Form von einem Polynom raus.

08.01.2012, 12:53

mathinitus

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Zitat:

Original von Geniuz
wenn ich es umformen würde, käme nicht die allgemiene Form von einem Polynom raus.

Das wissen wir, doch du bist doch nicht der Maßstab der Mathematik. Es reicht nicht, wenn du es nicht kannst. Wichtig ist, dass es keiner kann und auch nur können könnte.

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