Frage zu Dimension von Untervektorräumen |
| 05.01.2012, 14:42 | JuniorMathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Frage zu Dimension von Untervektorräumen U und W sind Untervektorräume von einem K-Vektorraum V. zudem gilt, dass U \subseteq V ist und dim(U)=dim(V). zz:U=W Meine Ideen: Ich weiß leider nicht wirklich, wie ich ansetzen soll.... Ich denke nicht, dass die Aufgabe schwer ist. Aber mir fehlt wie gesagt der Ansatz. Ich habe versucht mit der Dimensionsformel dim U + dim W = dim (U+W) + dim (U \cap W) anzufangen, weiß aber nicht ob ich damit was anfangen kann. Habe zumindest nichts geschafft 
Würde mich freuen, wenn mir jemand einen Tip geben könnte. Gruß D. |
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| 05.01.2012, 18:06 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast eine wichtige Voraussetzung vergessen: V muss endlich-dimensional sein. Als Tipp: Betrachte eine Basis U. Was veranstaltet diese in Vß Die Dimensoinsformel (deren Nützlichkeit meines Erachtens gern überschätzt wird) nützt hier nichts, oder kennst du und ? Edit: und sind bekannt, aber damit ist dann die Gleichung ziemlich witzlos. |
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| 05.01.2012, 23:27 | JuniorMathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine Basis ist minimal erzeugend? meinst du das? aber das bezieht sich ja nur auf U... oder kann ich dadurch das U und W die gleiche dimension haben auch auf W schließen?? |
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| 05.01.2012, 23:49 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stellen wir doch nochmal die Aufgabenstellung klar, denn so wie´s oben steht ist sie garantiert nicht. Wahrscheinlich Lautet sie so: Seine U,W UVR des endlich-dimensionalen K-VR V. Zeigen sie: und dim(U)=dim(W), so gilt U=W Dann bist du bereits auf dem richtigen Weg. Beachte , und damit liegt die Basis von U auch in W. |
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| 06.01.2012, 14:45 | JuniorMathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja genau, das ist die aufgabenstellung. hmm ok... also wenn U die Teilmenge von W ist, dann bedeutet das, dass U ein UVR von W ist. Da nun aber die Dimensionen identisch sind muss ich darauf schließen können, dass auch die basen identisch sind, da U ja ein UVR von W ist. Wenn die Basen nun gleich sind, dann ist ja auch der span (der in der basis enthalten ist) gleich und somit folgt, dass U = W ist. ist das korrekt? |
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| 06.01.2012, 16:20 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein.
behaupten ist schön und gut, du sollst es beweisen.
Das ist falsch. Es ist genau anders rum. |
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| 07.01.2012, 01:25 | JuniorMathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das mit dem beweisen ist mir schon klar... ich weiß aber nicht wie. ich würde jetzt so beginnen: sei die Basis W := {a1,...,an} und die Basis U := {b1,....,bk} Aus U Teilmenge von W darf ich ja folgern, dass <b1,....,bk> Teilmenge von <a1,...,an> und daraus kann ich ja dann wiederrum folgern, dass die Basis U Teilmenge von der Basis W ist. Das heißt Basisvektoren der Basis U sind in der Basis W enthalten. => Basis W = {a1,.....,an} = {b1,....,bk,ak+1....an} Da aber gilt: dim (W) = dim (V) folgt daraus Basis W = {a1,....,an} = {b1,....,bk} und daraus folgt, <b1,....,bk> = W somit ist W = V Ich hoffe, dass das jetzt besser ist. Achso und tut mir Leid wegen der komischen Weise wie alles aufgeschrieben ist. Kann diese Zeichen aus dem Formeleditor irgendwie nicht einfügen. |
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| 08.01.2012, 13:11 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es gibt nicht "die" Basis. dvon gibts immer mehrere.
Nein, siehe oben. Du kannst aber mit dem Basisergänzungssatz arbeiten. Als kurzes Gegenbeispiel zu obigem: Wir fassen als eindimensionalem Vektorraum über sich auf. Dann ist z. B. 1 eine Basis ebenso 2. Sie sind aber nicht ineinander enthalten. |
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