Mengenlehre als Basis für Ableitung der reellen Zahlen |
| 06.01.2012, 15:18 | Pizze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Mengenlehre als Basis für Ableitung der reellen Zahlen 1.Extensionalitätsaxiom, 2.Vereinigungsaxiom, 3.Potenzmengenaxiom, 4. Unendlichkeitsaxiom, 5. Fundierungsaxiom und 6. Ersetzungsaxiom. 7. Das Aussonderungsaxiom, 8. Das Leermengenaxiom, 9. Das Paarmengenaxiom, 10. Das Auswahlaxiom, 11. Das Konstruierbarkeitsaxiom (Gödel) 12. Das Axiom der Determiniertheit Ist 1-6 plus 12 richtig, und wenn ja, warum? |
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| 06.01.2012, 16:35 | pseudo-nym | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Mengenlehre als Basis für Ableitung der reellen Zahlen
Wie kommst du auf diese Behauptung? |
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| 07.01.2012, 14:29 | Pizze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Zunächst einmal: vielen Dank für die Mühe, mir zu antworten. Um zu versuchen, die Antwort zu verstehen, habe ich mich über ‚Ordnungstopologie‘, ‚offene Mengen‘, ‚metrischer Raum‘, ‚Dreiecksungleichung‘ und schließlich ‚Seite‘ im Kreis gedreht. Meine Frage war: Welche der aufgezählten Axiome sind mindestens erforderlich, um die Menge der reellen Zahlen aus den Axiomen abzuleiten? Dass weitere Axiome, wie solche, die eine Ordnung betreffen, erforderlich sind, habe ich verstanden; aber welche der oben aufgezählten Axiome sind m i n d e s t e n s erforderlich? Außerdem: was bedeutet der Strich über dem Symbol für die reellen Zahlen? Ehrlich gesagt: ich bin durch die Antwort noch nicht schlauer geworden. Für eine klärende Antwort wäre ich sehr dankbar. |
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| 07.01.2012, 15:45 | pseudo-nym | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich glaube du hast meine Signatur mit meiner Antwort verwechselt. Der Satz
ist meine Signatur und steht unter jedem meiner Posts. bezeichnet außerdem , aber wie gesagt mit deiner Aufgabenstellung hat das wenig zu tun. Bzgl. deines Problems solltest du dir vielleicht ersteinmal klar machen, was die Fragestellung überhaupt bedeutet. Du redest davon die rellen Zahlen abzuleiten, aber ableiten kann man nur Aussagen und keine Objekte. Beispielsweise macht es keinen Sinn eine Gruppe zu beweisen, man lediglich Aussagen über sie verifizieren. |
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| 08.01.2012, 09:40 | Pizze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Vielen Dank; auch für den Scherz mit der Signatur! Vielleicht ist statt 'Ableiten' 'Konstruieren' fachlich exakter formuliert? Ich habe das Gefühl, dass meine Frage immer noch offen ist. |
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| 08.01.2012, 09:54 | Pizze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
PS: Es geht mir darum, die Fundamente der Mathematik mit Hilfe von Quellen wie Resags Kapitel 4 Seite 7 von 10 in http://www.joergresag.privat.t-online.de/mybk3htm/chap43.htm zu verstehen |
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| 08.01.2012, 17:38 | pseudo-nym | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nun gut, sagen wir mal es ist klar was mit konstruieren gemeint ist. Am besten ist es wohl erst einmal zu zeigen, dass die natürlichen Zahlen eine Menge sind. Aus diesen kann man dann die ganzen, die rationalen und schließlich die reellen Zahlen konstruieren. Wenn du dies tust und dir dabei merkst welche Axiome du verwendet hast, erhälst du ein Axiomensystem aus dem die Aussage " ist eine Menge." ableitbar ist. Ich habe mir den Link mal angeschaut und imho ist das was dort steht zu überflächlich um Fragen wie die deine zu beantworten. (Alles was die Wikipedia o.ä.als Quelle benutzt ist sowieso mit Vorsicht zu genießen.) Wenn du an solchen Inhalten über das Lesen von historischen Abhandungen interessiert bist, wirst du wohl um ein ordentliches Mathematikbuch nicht herumkommen. |
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| 09.01.2012, 14:48 | Pizze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Vielen Dank pseudo-nym! Zu zeigen, dass die natürlichen Zahlen eine Menge sind, wird in verschiedenen Quellen behandelt. Problematisch ist für mich der 2. Teil deiner Antwort: "Aus diesen kann man dann die ganzen, die rationalen und schließlich die reellen Zahlen konstruieren." Auch, wenn ich die Fachlieratur lese, wie zum Beispiel Ebbinghaus et al. "Einführung in die mathematische Logik", Kap 7.2 Seite 109 ff und besonders Kap. 7.3 Seite 114 ff finde ich auf meine Frage bezüglich der IR keine klare Antwort (zusätzliche Axiome zum Beispiel im Zusammenhang mit einer Ordnung bzw. Striktordnung will ich hier noch nicht betrachten; oder ist das etwa notwendig, um zum Beispiel, wie in deinem post angedeutet, aus den rationalen Zahlen die irrationalen Zahlen zu konstruieren? Letzteres glaube ich nicht.) |
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| 09.01.2012, 23:19 | pseudo-nym | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Was ich meine sind folgende Konstruktionen: Konstruktion der ganzen aus den natürlichen Zahlen ist der Quotientenkörper von . ist die Vervollständigung von |
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| 10.01.2012, 09:46 | Pizze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Vielen Dank pseudo-nym! Ich habe nun wieder etwas gelernt. Allerdings ist das Ergebnis anders als ich erhofft habe. Ich habe gedacht, dass die rationalen Zahlen auf die gleiche Weise durch eine Liste von Axiomen oder Axionsschemarta charakterisiert werden können, wie die natürlichen Zahlen durch die Peano-Axiome. Leider scheint die korrekte Prozedur komplizierter und umständlicher zu sein. |
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| 10.01.2012, 10:29 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Da liegt ein Missverständnis vor. Und irgendwie hängt das mit der noch ungeklärten Frage zusammen, was genau du mit Ableitbarkeit/Konstruierbarkeit der reellen Zahlen
oder anderer Zahlen meinst. Man kann das Zahlensystem konstruktiv aufbauen in der Art: Natürliche Zahlen -> Ganze Zahlen -> Rationale Zahlen -> Reelle Zahlen. Man muss das aber nicht so machen. Man kann all diese Zahlen auch direkt axiomatisch charakterisieren. In der Hochschulanalysis beginnt man üblicherweise mit einem Axiomensysteme für die reellen Zahlen und wählt nicht den konstruktiven Weg. Wenn ich diese Frage/Bemerkungen lese
habe ich den Eindruck, dass es dir zunächst mal nur um die Kardinalität der reellen Zahlen geht. Speziell die Kontinuumshypothese, die Resag in dem zitierten Kapitel betrachtet, hat nur etwas mit dieser Kardinalität zu tun. Die sonstige reichhaltige Struktur der reellen Zahlen ist dafür belanglos. Und die Existenz einer Menge mit der Kardinalität der reellen Zahlen lässt sich rein aus den ZF-Axiomen beweisen. Es wird kein einziges weiteres Axiom benötigt. |
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| 23.01.2012, 10:11 | Pizze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Auf die Arbeit und den sehr interessanten Aspekt der Kardinalität bin ich eigentlich erst später gestoßen. Der Ausgangspunkt war zunächst ein anderer, zum Beispiel folgender Dialog: „Papa, was sind reelle Zahlen?“ „Eine reelle Zahl besteht aus einer unendlich lange Ketten von Zahlzeichen, die maximal ein Komma enthalten dürfen.“ „Was hat das mit Mengen zu tun?“ Wieso Mengen?“ „Wir haben Mengenlehre.“ „Ja, dann muss ich selbst mal nachschauen.“ Und dann habe ich mich selbst dafür interessiert. Bei Wikipedia steht unter „Axiomatische Einführung der reellen Zahlen“ 1. „Die Konstruktion der reellen Zahlen als Zahlbereichserweiterung der rationalen Zahlen wird in der Literatur oft in vier Schritten vorgenommen: Von der Mengenlehre über die natürlichen, die ganzen, die rationalen schließlich zu den reellen Zahlen wie oben beschrieben.“ pseudo-nym und Huggy 2. „Eine direkte Möglichkeit, die reellen Zahlen mathematisch zu erfassen, ist, sie durch Axiome zu beschreiben. Dazu benötigt man drei Gruppen von Axiomen - die Körperaxiome, die Axiome der Ordnungsstruktur sowie ein Axiom, das die Vollständigkeit garantiert.“ pseudo-nym und Huggy Also zu 1.: Der erste Schritt ist die Mengenlehre. Aber welche Axiome der Mengenlehre sind bei der Konstruktion der reellen Zahlen mindestens notwendig? Das war meine Ausgangsfrage. Und zu 2.: Die drei Gruppen von Axiomen beziehen sich auf Mengen. Aber welche Axiome der Mengenlehre sind dabei mindestens notwendig? Auch in diesem Falle komme ich zu meiner Ausgangsfrage. Schließlich habe ich das Gefühl, dass meine Ausgangsfrage immer noch nicht beantwortet ist. Pizze |
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| 23.01.2012, 13:59 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Praktisch jede mathematische Theorie wird heutzutage in der Sprache der Mengenlehre formuliert. Dabei wird aber üblicherweise nie eine axiomatische Mengenlehre benutzt, sondern man stützt sich auf die naive Mengenlehre, d. h. auf den Umgang mit Mengen, der sich aus gesundem Menschenverstand und Logik ergibt. Bekanntlich führt das in der Praxis zu keinen Problemen, aber es lässt exotische Mengenbildungen zu, die in sich widersprüchlich sind. Will man solche Widersprüche ausschließen, muss man auch die Mengenlehre axiomatisieren, d. h. man braucht Regeln für die erlaubten Mengenbildungen. Egal. ob man die reellen Zahlen konstruktiv beginnend mit den natürlichen Zahlen erzeugt oder ob man sie unmittelbar axiomatisch einführt, das Axiomensystem der Mengenlehre muss all die Mengenbildungen erlauben, die man beim Umgang mit den reellen Zahlen zwingend benutzt. Wenn man als Axiomensystem der Mengenlehre ZF benutzt, sehe ich kein Axiom, das man weglassen könnte. ZFC, das heißt das Auswahlaxiom, wird nicht unbedingt gebraucht. Man kann dann halt ein oaar Dinge nicht beweisen, die man vielleicht gerne beweisen möchte. |
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| 23.01.2012, 18:56 | Cacul | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Reelle Zahlen werden aber nicht durch Axiome konstruiert, anhand der reellen Zahlen kann man Axiome einführen. Aus kann man ja mittels Fundamentalsatz erzeugen, Dedekind-Schnitt kann man zeigen...etc... dann Axiome zeigen... Man kann auch reelle Zahlen als diejenige Zahl x (ausser 0)die eine eindeutige nichtriviale ende hat einführen und ... Die Mengenlehre untersucht die Mengeneigenschaften der Objekte, Körpereigenschaften ist da ohne belang. |
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| 23.01.2012, 19:12 | pseudo-nym | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
@cacul: Es würde helfen wenn du deine Beiträge etwas mehr ausführen würdest. Von welchem Fundamentalsatz redest du? Es gibt nämlich ziemlich viele von denen. Ein Dedkind-Schnitt ist ein Objekt und Objekte kann man nicht zeigen. Ich verstehe nicht was du sagen willst. |
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| 23.01.2012, 20:02 | Cacul | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
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| 23.01.2012, 20:03 | Cacul | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Cauchy-Folge eigentlich :P |
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| 24.01.2012, 11:57 | Pizze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Vielen Dank Huggy! Ich glaube mit Deinen Sätzen "....das Axiomensystem der Mengenlehre muss all die Mengenbildungen erlauben, die man beim Umgang mit den reellen Zahlen zwingend benutzt..." und insbesondere: " ...Wenn man als Axiomensystem der Mengenlehre ZF benutzt, sehe ich kein Axiom, das man weglassen könnte. ZFC, das heißt das Auswahlaxiom, wird nicht unbedingt gebraucht..." habe ich endlich genau die Antwort gefunden, die ich gesucht habe. Pizze |
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