zweiter isomorphiesatz

06.01.2012, 16:02

Velor92

zweiter isomorphiesatz

Meine Frage:
Sei V ein K-Vektorraum und seien U1 und U2Untervektorräume von V.

1) Zeigen Sie U1/(U1 $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ U2)isomorph zu (U1+U2)/U2

Meine Ideen:
Ich weiß aus der VL dass V/ker(f) isomorph zu im(f) ist.
deshalb ist (U1 $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ U2)= ker(f)
Dann muss ich ja zeigen, dass dim U1/(U1 $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ U2)= dim (U1+U2)/U2 ist und f K-linear damit sie isomorph zueinander sind.

Mein Problem ist hier, dass ich nicht weiß wie f aussieht.
Und auch nicht so richtig wie ich hier anfangen muss

Wäre nett wenn ihr helfen könntet

06.01.2012, 16:18

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir brauchen also eine Abbildung

$\begin{eqnarray*} f: U_1 \to (U_1+U_2)/U_2 \end{eqnarray*}$

Wohin könnte man denn ein $\begin{eqnarray*} u_1 \in U_1 \end{eqnarray*}$ sinnvollerweise (kanonischerweise) schicken?

06.01.2012, 16:41

Velor92

Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde sagen auf den Bildbereich von f aber es würde mich weiter bringen wenn ich auf den Kern abbilden würde.

Wie bist du denn auf f gekommen?

06.01.2012, 16:43

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin doch noch gar nicht auf f gekommen. Du sollst ja drauf kommen.

Natürlich müssen wir auf den Bildbereich von f abbilden. Sonst wär das ja gar nicht wohldefiniert.

Wie sieht denn ein Element aus $\begin{eqnarray*} (U_1+U_2)/U_2 \end{eqnarray*}$ allgemein aus? Wenn dir das klar ist, dann ist eigentlich auch sofort klar worauf man $\begin{eqnarray*} u_1 \in U \end{eqnarray*}$ abbilden sollte.

06.01.2012, 16:49

Velor92

Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß es nicht kannst du mir n Tipp geben unglücklich

06.01.2012, 16:51

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo
Wie sieht denn ein Element aus $\begin{eqnarray*} (U_1+U_2)/U_2 \end{eqnarray*}$ allgemein aus?

Das solltest du aber schon beantworten können.

Bzw. wir können ja mal 2 Fragen draus machen:

1. Wie sieht ganz allgemein ein Element aus V/U aus, wobei U UVR von V ist?

2. Wie sieht ganz allgemein ein Element aus $\begin{eqnarray*} U_1+U_2 \end{eqnarray*}$ aus?

06.01.2012, 16:59

Velor92

Auf diesen Beitrag antworten »

V/U ist definiedrt als a + U wobei a ein Vektor aus V ist

und aus U1 + U2 würde ich sagen einfach ein Vektor aus U1 oder U2 oder?

Dann wäre ja $\begin{eqnarray*} (U_1+U_2)/U_2 \end{eqnarray*}$ einfach U2 + b wobei b element aus
U1 + U2

ist dass richtig?

06.01.2012, 17:20

Velor92

Auf diesen Beitrag antworten »

wobei wenn U ein UVR ist dann ist doch V/U auch ein Untervektorraum von V dessen dimension kleiner gleich V und größer gleich U ist und das ist abhängig von den Vektoren aus V

06.01.2012, 18:22

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Dein vorletzter Post war schon gar nicht so schlecht, aber der letzte macht wenig Sinn.

Ich gebe dir die Abbildung mal vor:

$\begin{eqnarray*} f: U_1 \to (U_1+U_2)/U_2, ~ u_1 \mapsto u_1 + U_2 \end{eqnarray*}$

Zeige nun, dass diese Abbildung surjektiv ist und dass ihr Kern gerade $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ ist.

Mit dem Isomorphiesatz folgt dann ja die Behauptung. Soweit warst du ja schon im ersten Post.

06.01.2012, 19:31

Velor92

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn f surjektiv ist muss ja gelten: $\begin{eqnarray*} x+U_2=y+U_2 \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ ist
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x,y \in U_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists x,y \in U_1\cap U_2<br /> <br /> \Rightarrow ker(f)= U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$

ich bin mir nicht ganz sicher ob die letzte aussage aus
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists x,y \in U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$ folgt

Neue Frage »

Antworten »

zweiter isomorphiesatz

Verwandte Themen