Kompaktheit impliziert Abgeschlossenheit

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mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »
Kompaktheit impliziert Abgeschlossenheit
Hallo.

Wie kann ich zeigen, dass eine kompakte Menge eines Hausdorff-Raums auch abgeschlossen ist.

Meine Ideen:

Ich muss irgendwie zeigen, dass das Komplement offen ist. Eine Möglichkeit wäre für alle eine Umgebung U zu konstruieren mit . Doch das will mir nicht gelingen.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm dir mal ein .

Nun wähle dir zu jedem offene disjunkte Umgebungen (jetzt kommt Hausdorff ins Spiel) und .

Betrachte nun die offene Überdeckung


Alternativ könntest du auch über Folgen argumentieren:

Nimm dir eine konvergente Folge mit und nimm an der Grenzwert a liege nicht in K.

Nun setze und betrachte die offene Überdeckung
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank. Da hätte man auch selbst drauf kommen können traurig
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst ja zur Übung noch darauf kommen, wo genau man beim zweiten Beweis die Hausdorffeigenschaft braucht. smile
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich denke an den folgenden zwei Stellen:

  1. Beim Beweis, dass die offen sind
  2. Beim Beweis, dass gilt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

1. ist vollkommen richtig.

Man denke nur an eine konstante Folge, da ist und dass eine Einpunktmenge abgeschlossen ist, ist sehr eng mit dem Trennungsaxiom verbunden.

2. ist weniger offensichtlich, aber auch richtig Freude

Man könnte sogar noch anmerken, dass wir ja hier von "dem Grenzwert a" reden. Alleine dafür brauchen wir das Trennungsaxiom ja schon.
 
 
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Man könnte sogar noch anmerken, dass wir ja hier von "dem Grenzwert a" reden. Alleine dafür brauchen wir das Trennungsaxiom ja schon.


Genau.

Bei den Überlegungen (die für mich neu sind, da ich noch nie mit Topologien arbeitete, die durch keine Metrik erzeugt sind) habe ich mich auch folgendes gefragt:

Sei topologischer Raum und zu jedem gibt es eine offene Teilmenge mit aber . Ist dann X schon ein Hausdorff-Raum?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, dem ist nicht so.

Betrachte dazu und wir defnieren eine Topologie dadurch, dass die leere Menge und alle Mengen mit endlichem Komplement offen sein sollen. Man überzeugt sich leicht davon, dass dies eine Topologie ist. Am leichtesten sieht man das, indem man sich überlegt, dass wir genauso gut definieren können, dass X und alle endlichen Mengen abgeschlossen sein sollen.


Dieser topologische Raum erfüllt deine Eigenschaft, ist aber kein Hausdorffraum.


PS: Deine Eigenschaft ist übrigens das Trennungsaxiom . Hausdorff ist das Trennungsaxiom .
Es gibt auch noch . Dort wird nur gefordert, dass von zwei Punkten mind. einer eine Umgebung besitzt, die den anderen nicht enthält.
Bei hingegen wird gefordert, dass beide jeweils eine Umgebung besitzen, die den jeweils anderen nicht enthält.
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