Komplexe Zahlen, Betrag, Lösungsmenge

06.01.2012, 21:25

KönigsHaki

Komplexe Zahlen, Betrag, Lösungsmenge

Meine Frage:
hallo,
Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der komplexen Zahlen z, die folgenden Gleichung erfüllen:
$\begin{eqnarray*} |z+i|=|z-i| \end{eqnarray*}$
ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} |z|=\sqrt{a²+b²} \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a²+b²}+|i|=\sqrt{a²+b²})-|i| \end{eqnarray*}$

nun meine Frage, wann beginne ich mit der Fallunterscheidung?

Meine Ideen:
Ich weiß auch, dass $\begin{eqnarray*} i = \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$
ist dann $\begin{eqnarray*} |i| = | \sqrt{-1}| \end{eqnarray*}$ ?

oder liege ich ganz falsch und ich Teile die Ausgangsgleichung in Re und Im auf?
also

(linke Seite der Gleichung)

$\begin{eqnarray*} |a+ib+i| = |a+ib + 0 + i1| = |a+i(b+1)| \end{eqnarray*}$

(recht Seite)

$\begin{eqnarray*} |a+ib-i| = |a+ib + 0 - i1| = |a-i(b+1)| \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} |a+i(b+1)| = |a-i(b+1)| \end{eqnarray*}$

und nun Fallunterscheidung? Wenn ja, wie würde die aussehen?

weiß leider nicht mehr weiter und bin auf eure Hilfe angewiesen.

06.01.2012, 21:35

Kimi_R

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RE: Komplexe Zahlen, Betrag, Lösungsmenge

Zitat:

Original von KönigsHaki
Meine Frage:
hallo,
Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der komplexen Zahlen z, die folgenden Gleichung erfüllen:
$\begin{eqnarray*} |z+i|=|z-i| \end{eqnarray*}$
ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} |z|=\sqrt{a²+b²} \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a²+b²}+|i|=\sqrt{a²+b²})-|i| \end{eqnarray*}$

Das nach dem also stimmt aber nicht.
Ansonsten solltest du einfach mal dein z ausschreiben, also z:=a+i*b mit a und b reelle Zahlen.
Dann gilt offensichtlich:
$\begin{eqnarray*} |z+i|=|z-i| \Leftrightarrow |a+(b+1)*i| = |a+(b-1)*i| \end{eqnarray*}$

Und jetzt kannst du ja anwenden, was du über den Betrag von komplexe Zahlen weißt, also:
$\begin{eqnarray*} |z|=\sqrt{a²+b²} \end{eqnarray*}$ wobei du jetzt natürlich links (b+1) statt b und rechts (b-1) statt b nehmen musst

06.01.2012, 21:36

mYthos

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Deine Formeln sind falsch.

$\begin{eqnarray*} |z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} \end{eqnarray*}$

mY+

06.01.2012, 23:03

KönigsHaki

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Zitat:

Original von mYthos
Deine Formeln sind falsch.

$\begin{eqnarray*} |z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} \end{eqnarray*}$

mY+

welche meinst du?

$\begin{eqnarray*} |z+i| \end{eqnarray*}$
kann ich doch umschreiben in
$\begin{eqnarray*} |z|+|i|<br /> \end{eqnarray*}$
dann ist

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2 + b^2} + |i| \end{eqnarray*}$

doch nicht falsch?

@Kimi_R:
deine Gleichung hab ich ja auch, deinen Tipp werde ich mal genauer untersuchen =) danke vorerst

06.01.2012, 23:19

mYthos

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Zitat:

Original von KönigsHaki
...
$\begin{eqnarray*} |z+i| \end{eqnarray*}$
kann ich doch umschreiben in
$\begin{eqnarray*} |z|+|i|<br /> \end{eqnarray*}$
...

Eben das ist falsch, genau so, wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2 + b^2} \end{eqnarray*}$ NICHT $\begin{eqnarray*} a+ b \end{eqnarray*}$ ist. Und $\begin{eqnarray*} |i| \end{eqnarray*}$ ist doch einfach 1 ..
In den Betragsgleichungen gibt es kein i mehr.

mY+

06.01.2012, 23:22

KönigsHaki

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jetzt bin hier gelandet:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a²+b²+2b+1} = \sqrt{a²+b²-2b+1} \end{eqnarray*}$

und nun bin ich wieder festgeharrt...

nun muss ich ja 2 reelle zahlen a & b finden, für die diese Gleichung stimmt.

nun offensichtlich ist die Ungleichheit der beiden Seiten davon abhängig, welchen Wert b annimmt.
Nun kann b nur die 0 annehmen damit beide Seiten gleich sind, da
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a²+0+0+1}=\sqrt{a²+0-0+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a²+1}=\sqrt{a²+1} \end{eqnarray*}$

wie schreibe ich das formell auf?

aber selbst wenn ich die reellen Zahlen a, b gefunden habe, kann ich aus denen dann meine komplexe zahl z formen?
Demnach habe ich ja meine komplexe Zahl a +i0b = a gefunden?

06.01.2012, 23:26

KönigsHaki

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Zitat:

Original von mYthos

Zitat:

Original von KönigsHaki
...
$\begin{eqnarray*} |z+i| \end{eqnarray*}$
kann ich doch umschreiben in
$\begin{eqnarray*} |z|+|i|<br /> \end{eqnarray*}$
...

hoppla

ich verweise trotzdem auf meinem Post über den hier^^

06.01.2012, 23:42

mYthos

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Zitat:

Original von KönigsHaki
...
also

$\begin{eqnarray*} |a+i(b+1)| = |a-i(b+1)| \end{eqnarray*}$
...

Das war noch ein Fehler, rechts muss a + i(b - 1) stehen.

Jetzt stimmt dein (letzter) Wurzelansatz.
Diese Gleichung kannst du problemlos quadrieren.

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 + 2b + 1 = a^2 + b^2 - 2b + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2b = -2b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4b = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = 0 \end{eqnarray*}$

Somit ist tatsächlich $\begin{eqnarray*} z = a \end{eqnarray*}$
Die Richtigkeit kann man sofort nachprüfen, wenn man nun die Beträge berechnet.

mY+

06.01.2012, 23:55

KönigsHaki

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ja das war ein abschreibfehler, vielen Dank!

07.01.2012, 00:18

original

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RE: Komplexe Zahlen, Betrag, Lösungsmenge

Zitat:

Original von KönigsHaki

Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der komplexen Zahlen z,
die folgende Gleichung erfüllen:

$\begin{eqnarray*} |z+i|=|z-i| \end{eqnarray*}$

nun meine Frage, wann beginne ich mit der Fallunterscheidung?

Vorschlag :
da Beträge als Abstände gedeutet werden können,
kannst du die Aufgabe einfach so lesen:

gesucht sind in der GaussEbene alle Punkte z, die vom festen Punkt -i = (0; -1) gleich weit
entfernt sind wie vom festen Punkt i=( 0; 1)

und das ist ja eine elementargeometrisch sehr bekannte Aufgabe .. oder?

also kannst du diese gesuchte Punktmenge jetzt sicher auch noch
(ohne Fallunterscheidungen) notieren? ->
.

07.01.2012, 00:40

KönigsHaki

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ja danke für den Hinweis,

habe die Aufgabe aber schon gelöst

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