Skalarprodukt

06.01.2012, 22:34	stealth_mx	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt Hallo, ich habe ein Problem mit einer Aufgabe ich verstehe nicht was genau ich machen soll. Gegeben ist ein Vektorraum $\begin{eqnarray} V=\{{\begin{pmatrix} a_1 & a_2\\ a_2 & a_3 \end{pmatrix}}\| a_1, a_2, a_3 \in \Re\} \end{eqnarray}$ einer reellen symmetrischen 2x2 Matrix. Ich soll zeigen, dass diese Abbildung: $\begin{eqnarray} \langle \cdot,\cdot \rangle_{1}:V \times V \rightarrow \Re; \langle {\begin{pmatrix} a_1 & a_2\\ a_2 & a_3 \end{pmatrix}},{\begin{pmatrix} b_1 & b_2\\ b_2 & b_3 \end{pmatrix}} \rangle_1 = a_1b_1+2a_1b_2+2a_2b_1+a_3b_3 \end{eqnarray}$ kein Skalarprodukt von V ist. Jetzt weiß ich leider nicht was hier von mir gefordert wird. Jeder Tipp hilft.
06.01.2012, 22:43	Karamuto	Auf diesen Beitrag antworten »
guck dir eure definition des skalarprodukts an überprüfe die eigenschaften wo ist das problem? ^^ also eig die 3 eigenschaften: $\begin{eqnarray} \langle v,v\rangle > 0 \end{eqnarray}$ für v != 0 $\begin{eqnarray} \langle v,u\rangle = \langle u,v\rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \langle \lambda u + \pi u', v\rangle = \lambda \langle u,v\rangle + \pi \langle u',v\rangle \end{eqnarray}$
06.01.2012, 22:55	stealth_mx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß leider nicht wie ich anfagen soll.
06.01.2012, 23:04	Karamuto	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau genau hin Ich zeig dir mal ein beispiel: Sei $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ Dann ist: $\begin{eqnarray} \langle v, v \rangle = v_1 ^2 + 4v_1v_2+v_3^2 \end{eqnarray}$ Und hierfür sollst nun zeigen das es größer als 0 ist, wenn v nicht die nullmatrix ist :O
06.01.2012, 23:08	stealth_mx	Auf diesen Beitrag antworten »
Darauf bin ich gerade selbst gestoßen und muss feststellen, dass es nicht sein kann wenn ich für v_2 eine ganz große negative Zahl einsetze so ist das Ergebnis kleiner 0. Natürlich nur dann wenn a_1 udn a_3 klein sind. Ein Gegenbeispiel sollte da reichen oder?
07.01.2012, 09:54	looser	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \langle v, v \rangle = v_1 ^2 + 4v_1v_2+v_3^2 \end{eqnarray}$ Wie kommst du darauf? v ist eine Matrix in diesem Fall? Muss dann Matrixmultiplikation angewandt werden (Zeile*Spalte)?
Anzeige

07.01.2012, 11:59	stealth_mx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Skalarprodukt wird immer definiert somit kann er immer verschieden aussehen. Nicht unbedint eine Matrixmultiplikation. Also die Bedinung besagt: $\begin{eqnarray} \langle v,v\rangle > 0 \end{eqnarray}$ wie Karamuto schon sagte. Dh nehme man das Skalarprodukt von zwei gleichen Vektoren so muss das Ergebnis zwangläufig größer als null sein. Für v ungleich 0. $\begin{eqnarray} \langle v, v \rangle = v_1 ^2 + 4v_1v_2+v_3^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \langle a, b \rangle = a_1b_1 + 2a_1b_2+2a_2b_1+a_3b^3 \end{eqnarray}$ Vektor a ist auch Vektor b. Also folgt: $\begin{eqnarray} \langle v, v \rangle = v_1v_1 + 2v_1v_2+2v_2v_1+v_3v_3 \end{eqnarray}$ Fasst man das zusammen so ergibt sich: $\begin{eqnarray} \langle v, v \rangle = v_1 ^2 + 4v_1v_2+v_3^2 \end{eqnarray}$ Jetzt sieht man v_1 und v_3 immer positiv sein müssen v_2 jedoch kann sehr klein gewählt werden so dass das Skalarpodukt plötzlich kleiner null ist. Das ist ein Widerspruch zur Bedinung.
08.01.2012, 14:30	looser	Auf diesen Beitrag antworten »
Also multiplizierst man nur die Spalten der Matrix miteinander?!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »