Vektorrechnung--Flugzeuge...

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06.01.2012, 23:56	Alonushka	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorrechnung--Flugzeuge... Hallo=) ich habe da noch eine Aufgabe, bei der ich mir die ganze Zeit den Kopf zerbriche... Ein Passagierflugzeug befindet sich zu Beginn der Reder-Erfassung in horizontal gemessener Entfernung von 12 km genau westlich von einer Radarstation und beginnt aus 4500 m Höhe einen Landeanflug. Gleichzeitig befindet sich horizontal gemessen 35 km östlich von der Radarstation entfernt ein Sportflugzeug, das mit Nordkurs in einer Höhe von 2000 m und mit einer Geschwindigkeit von 180 km/h fliegt. Nach 60 Sekunden befindet sich das Passagierflugzeug (horizontal gemessen) 6 km nördlich von der Radarstation auf der Höhe von 3900 m. a)Bestimmen Sie den Abstand der beiden Flugbahnen. b)Wann kommen sich die beiden Flugzeuge am nächsten ? Muss die Flugrichtung des Sportflugzeuges geändert werden, wenn ein Sicherheitsabstand von 10 km eingehalten werden muss? Hinweis: Radarstation ist der Ursprung, also P (0/0/0) x_1-Richtung weist nach Osten x_2-Richtung weist nach Norden Meine Ideen: Der Aufpunkt des Passagierflugzeuges ist A_1(-12/0/4500) der Aufpunkt des Sportflugzeuges ist A_2(36/0/2000) und sein Richtungsvektor soll 180 km/h ergeben....weiter weit ich nichts...ich hoffe jemand kann mir mit dieser Aufgabe helfen...
07.01.2012, 00:48	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst beachten, dass die Einheiten gleich bleiben müssen, daher ist (-12; 0; 4500) auf jeden Fall falsch. Bleibe bei km (!) Es sind die Richtungsvektoren beider Flugzeuge als "Minutenvektoren" aufstellen, denn nur so ist die Festlegung der momentanen Positionen realisierbar. Beim Sportflugzeug ist das leicht, denn es fliegt parallel zum Grund mit 180 km/h, somit ist die Minutengeschwindigkeit errechenbar und damit der horizontale Richtungsvektor. Den Minuten-Richtungsvektor des Passagierflugzeuges ermittelst du aus den beiden Positionen (-12; 0; 4.5) am Anfang und (0; 6; 3.9) nach einer Minute. mY+
07.01.2012, 13:11	Alonushka	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe jetzt die zwei Flugzeugbahne berechnet... F_1: $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} -12 \\ 0 \\ 4,5 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 12 \\ 6 \\ -0,6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ F_2: $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} 36 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ich habe also rausgefunden, dass der Sportflugzeug 3km in Richtung Norden mit gleich bleibenden Höhe nach einer Minute zurücklegt.. meine Richtungsvektoren sind: Passagierflugzeug: $\begin{eqnarray} \vec{u} = \begin{pmatrix} 12 \\ 6 \\ -0,6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Sportflugzeug: $\begin{eqnarray} \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist das Richtig? und wie soll ich ihre Positionen bestimmen?
07.01.2012, 22:36	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
deine Richtungsvektoren sind nun beide Geschwindigkeitsvektoren. Der Parameter $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ kann durch den der Zeit t (in Minuten ) ersetzt werden. F_p: $\begin{eqnarray} \vec{x(t)} = \begin{pmatrix} -12 \\ 0 \\ 4,5 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} 12 \\ 6 \\ -0,6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ F_s: $\begin{eqnarray} \vec{x(t)} = \begin{pmatrix} 36 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es werden nun 2 Fragen gestellt: 1.) wie nahe kommen sich die Flugbahnen. Das ist rein geometrisch und bedeutet den minimal-Abstand der beiden ( hoffentlich ) windschiefen Geraden. 2.) zu jedem Zeitpunkt gibt es einen direkten Abstand der Flugzeuge. Dieser wird irgendwann Minimal. Dieser ist aber immer mindestens so gross wie der Minimalabstand der Fluggeraden. Folgerung: Auch wenn sich 2 Flugbahnen schneiden, bedeutet das nicht automatisch einen Unfall. Also: erst mal den Abstand der windschiefen? Flugbahnen bestimmen.
08.01.2012, 18:11	Alonushka	Auf diesen Beitrag antworten »
ok.... ich habe rausgefunden, dass die Geraden windschief sind... und wie berechne ich dann diesen minimal-Abstand?ich weis nicht wie ich es errechnen soll.....=(
08.01.2012, 20:40	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
da die Verbindungsstrecke zwischen den windschiefen Geraden mit beiden Geraden einen rechten Winkel bildet, brauchst du auf jeden Fall einen, zu beiden Richtungsvektoren, senkrechten Vektor. Das sei der Vektor $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ . Das Skalarprodukt mit $\begin{eqnarray} \vec u \end{eqnarray}$ und auch mit $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ muss Null sein. 1.) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 12 \\ 6 \\ -0,6 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray}$ 2.) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray}$ Kannst du einen von den vielen möglichen $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ bestimmen?
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09.01.2012, 16:27	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
der ordnung halber sei angemerkt: diesen vektor braucht man nicht (unbedingt zu bestimmen), es gibt auch andere wege ans ziel
09.01.2012, 18:04	Alonushka	Auf diesen Beitrag antworten »
und welche ?
09.01.2012, 19:08	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ja richtig! Da gibt es noch eine andere Möglichkeit, die mir aber mal wieder nicht geläufig ist Da aber in der Schule immer der Weg über den senkrechten Vektor gegangen wird, sollten wir den zuerst einmal gehen. Die Anforderung liefert: 1.) $\begin{eqnarray} 12n_1+6n_2-0.6n_3=0 \end{eqnarray}$ 2.) $\begin{eqnarray} 3n_2=0 \end{eqnarray}$ Das ist ein unterbestimmtes LGS. Da der Hauptaugenmerk der Aufgabe woanderst liegt, etwas kurz: $\begin{eqnarray} n_2 =0 \end{eqnarray}$ Ich wähle $\begin{eqnarray} n_1=1 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} n_3= 20 \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} \vec n =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 20 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bei Abständen muss der senkrechte Vektor die Länge 1 haben, sprich die Maßeinheit muss hergestellt werden. Um den $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ auf Länge 1 zu bekommen muss ich Ihn durch seine Länge teilen. Wie sieht nun $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ aus, wenn er die Länge 1 hat?
09.01.2012, 20:02	Alonushka	Auf diesen Beitrag antworten »
der Normalvektor sieht dann bei mir so aus : $\begin{eqnarray} \vec n =\frac{1}{\sqrt{401} }\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 20 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist es richtig? ich hoffe,ich habe alles richtig eingetippt...habe noch Schwierigkeiten mit den LATEX..
09.01.2012, 20:42	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
perfekt Nun ist der Abstand der windschiefen Geraden das Skalarprodukt aus dem normierten $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ und der Differenz der "Stützvektoren" ( Aufpunkte ) beider Geraden...
09.01.2012, 21:10	Alonushka	Auf diesen Beitrag antworten »
also so ,wie ich es verstanden habe ist der Abstand: Abstand= $\begin{eqnarray} \frac{2}{\sqrt{401} } \end{eqnarray}$ ... eins verstehe ich nicht, wieso man jetzt ein Skalarprudukt von Normalenvektor und der Differenz der Aufpunkte bildet...
09.01.2012, 21:27	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
auch richtig. Wie gesagt, lassen wir mal die Berechnung des Abstandes der windschiefen Geraden als Thema stehen ( das steht im Schulbuch zum Nacharbeiten ). Und wenden uns zunächst der Frage 2.) zu: Welchen Minimalabstand erreichen beide Flugzeuge, und zu welchem Zeitpunkt? Idee: der direkte Abstand der Flugzeuge ist eine Funktion der Zeit. Nach analytischen Methoden müsste eigentlich ein Minimum der Funktion möglich sein... d(t)= ....
09.01.2012, 21:35	Alonushka	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt habe ich noch weniger Ahnung...wahrscheinlich habe ich das noch nicht im Unterricht gemacht...ich wollte mit dieser Aufgabe für meine Klausur am Mittwoch üben..aber ich glaube, dass ich nicht die Aufgabe genommen habe, die dran kommen könnte.
09.01.2012, 21:57	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
o.k. der direkte Abstand würde auf d(t)= $\begin{eqnarray} \| \vec x_1(t )-\vec x_2(t)\| \end{eqnarray}$ führen, was man nach t ableiten und Null setzen würde.

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