Trigonometrische Gleichung beweisen

07.01.2012, 21:25

KönigsHaki

Trigonometrische Gleichung beweisen

Meine Frage:
Hallo,

ich schau mir jetzt seit stunden die Definitionen und Rechenregeln an, aber ich komm einfach nicht drauf:

$\begin{eqnarray*} 2\sin²(\frac{x}{2} ) = 1 - cos(x) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
nun meine Ideen sind nicht wirklich viel versprechend, ich hab hin und her gerechnet und aufgelöst, aber ich komme auf keinen grünen Zweig, denke ich falsch?

zunächst habe ich versucht die linke Seite der rechten Seite anzupassen, doch das krieg ich nicht hin

$\begin{eqnarray*} 2\sin²(\frac{x}{2} ) = 1 - cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sin²(\frac{x}{2})+\sin²(\frac{x}{2}) = 1 - cos (x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\sin(\frac{x}{2}))*(\sin(\frac{x}{2}))+(\sin(\frac{x}{2}))*(\sin(\frac{x}{2}))=1-cos(x) \end{eqnarray*}$

also hab ich versucht die rechte Seite der neuen linken seite anzupassen
(oder einer form davor):

$\begin{eqnarray*} (\sin(\frac{x}{2}))*(\sin(\frac{x}{2}))+(\sin(\frac{x}{2}))*(\sin(\frac{x}{2}))=1-cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\sin(\frac{x}{2}))*(\sin(\frac{x}{2}))+(\sin(\frac{x}{2}))*(\sin(\frac{x}{2}))=cos²(x)+sin²(x)-cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\sin(\frac{x}{2}))*(\sin(\frac{x}{2}))+(\sin(\frac{x}{2}))*(\sin(\frac{x}{2}))=cos²(x)+sin²(x)-sin(x+\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\sin(\frac{x}{2}))*(\sin(\frac{x}{2}))+(\sin(\frac{x}{2}))*(\sin(\frac{x}{2}))=cos²(x)+sin²(x)-sin(x)cos(\frac{x}{2})-cos(x)sin(\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$

nun was sagt ihr dazu?
kann ich $\begin{eqnarray*} cos²(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} sin²(x+\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$ umschreiben? aber wenn ja was dann?
bin ich auf dem richtigen weg oder komplett falsch?

freue mich auf eure Antworten

07.01.2012, 21:45

original

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RE: Trigonometrische Gleichung beweisen

Zitat:

Original von KönigsHaki

jetzt seit stunden
die Definitionen und Rechenregeln an, aber ich komm einfach nicht drauf:

$\begin{eqnarray*} 2\sin²(\frac{x}{2} ) = 1 - cos(x) \end{eqnarray*}$

kennst du die Additionstheoreme?

und dann damit auch die Formeln für den doppelten Winkel? ->

$\begin{eqnarray*} \cos( 2 \alpha )= 1- 2 \cdot \sin^2(\alpha ) \end{eqnarray*}$

was wäre, wenn beta= 2*alpha ??
.

07.01.2012, 22:16

KönigsHaki

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die additionstheoreme kenn ich ja, sonst hätte ich den letzten Schritt meiner Umformung nicht hinbekommen.

die Formel für den doppelten Winkel sagt mir nichts und weiß auch nicht was der mir bringt.

07.01.2012, 23:41

original

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Zitat:

Original von KönigsHaki
die additionstheoreme kenn ich ja, sonst hätte ich den letzten Schritt meiner Umformung nicht hinbekommen.

die Formel für den doppelten Winkel sagt mir nichts
und weiß auch nicht was der mir bringt.

... du kennst die Additionstheoreme ? Also zB $\begin{eqnarray*} cos(\alpha +\beta ) = ... \end{eqnarray*}$

versuche nun das Nichtssagende herauszufinden $\begin{eqnarray*} cos(\alpha +\alpha) = cos( 2 \alpha ) =... \end{eqnarray*}$

und da wir hier ja im Bereich Hochschulmathematik sind,
kannst du jetzt selbst darüber nachdenken:
der Winkel x ist der doppelte Winkel des Winkels x/2
und damit dann vielleicht doch noch sehen "was der mir bringt"
wenn gezeigt werden soll, dass

$\begin{eqnarray*} cos(x) = 1 - 2\sin²(\frac{x}{2} ) \end{eqnarray*}$

09.01.2012, 16:54

KönigsHaki

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ich weiß worauf du hinaus willst, aber ich weiß einfach nicht, wie sich das x/2 auswirkt, bzw wie ich es umschreibe denn

ich kann wohl nicht einfach statt x/2 x schreiben und auf der anderen Seite mit 2 multiplizieren...
(nicht schlagen falls ich nonsense rede traurig

)

eidt:
bzw: ich hab ja cos x = 1-sin²(x/2)

und ich weiß dass cos(2x)=2cos²x -1 ist.

also wie wird das cos(2x) zu cos(x)?!

11.01.2012, 19:08

KönigsHaki

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kann mir denn keiner helfen?!!

11.01.2012, 19:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von KönigsHaki
und ich weiß dass cos(2x)=2cos²x -1 ist.

Schreiben wir mal besser t statt x, also

$\begin{eqnarray*} \cos(2t) = 2\cos^2(t)-1 \end{eqnarray*}$

gilt für alle reellen (und übrigens auch komplexen) $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Mit dem trigonometrischen Pythagoras $\begin{eqnarray*} \cos^2(t)=1-\sin^2(t) \end{eqnarray*}$ wird daraus

$\begin{eqnarray*} \cos(2t) = 1-2\sin^2(t) \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt nutzt du das ganze für $\begin{eqnarray*} t=\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ . Eigentlich hat dir das sinngemäß schon original so erzählt - hast du irgendein ideologisches Problem mit einer derartigen Vorgehensweise? verwirrt

11.01.2012, 20:06

KönigsHaki

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ich danke dir!

ich war so darauf konzentriert immer nur umzuformen, sodass ich das offensichtliche einsetzen, total außer betracht gelassen habe...-.-

hab es geschafft danke!

(ich bin nicht so der stärkste in Trigonometrie =( )

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