Kann ein Vektor senkrecht auf einen Raum stehen?

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schnibbelschnabbel Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ein Vektor senkrecht auf einen Raum stehen?
Meine Frage:
Tja, der Titel sagt eigentich schon alles aus. Wenn ihr mir diese Frage mit einem einfachen ja oder nein beantworten könntet, wäre mir schon mal weitergeholfen.

Meine Ideen:
Dass ein Vektor senkrecht auf eine Gerade oder eine Ebene stehen kann, ist mir schon klar. Aber auf eine Raum???
Odatas Auf diesen Beitrag antworten »

Geht es:

Ja

Kann man es sich geometrisch Vorstellen:

Nein

Wink
Kimi_R Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Odatas
Kann man es sich geometrisch Vorstellen:
Wink


Mit dem Nullvektor gehts auf jeden Fall Augenzwinkern

Ansonsten müsste doch auch der R^2 und der dritte Einheitsvektor ein passendes Beispiel sein
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Sagen wir es so: Wenn man einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor sucht, der auf einem dreidimensionalen Raum senkrecht steht, dann geht das im dreidimensionalen Raum selbst natürlich nicht. Sehr wohl aber in höheren Dimensionen. Triviales Beispiel:



Der von den drei linear unabhängigen Vektoren aufgespannte Raum ist dreidimensional. Und steht auf allen Basisvektoren, also auf dem ganzen Raum senkrecht (Skalarprodukt wie gewohnt berechnen).
kaugummifrosch Auf diesen Beitrag antworten »
konkrete Aufgabe
v1 = (0, 1, 1, 1) , v2 = (1, 0, 1, 1) , v3 = (1, 1, 0, 1) , v = (1, 1, 1, 1)

U =< v1, v2, v3 >

Bestimmen Sie die senkrechte Projektion p von v auf U.



Wie läuft das denn dann in diesem konkreten Fall? verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Hier werden Punkte und Vektoren (als Ortsvektoren der Punkte) identifiziert. Wie ist das denn eine Dimension tiefer? Da hast du einen zweidimensionalen Unterraum, also eine Ursprungsebene , und den Punkt , den du senkrecht auf projizieren sollst. Man könnte auch sagen: Du sollst den Lotfußpunkt des Lots von auf berechnen. Und wie das geht, kennst du aus der Schulmathematik: in Normalenform angeben, Lotgerade durch aufstellen (der Normalenvektor von taugt als Richtungsvektor von ), der Schnitt von und ist der gesuchte Lotfußpunkt . Skizziere die Situation, dann erklärt sich alles von alleine.

Jetzt hast du statt einen dreidimensionalen Unterraum , eine sogenannte Hyperebene (weil die Dimension um 1 kleiner als die Dimension des umgebenden Raumes ist). Das Verfahren läuft aber ansonsten gleich ab. Und einen Normalenvektor von bestimmst du durch Lösen des linearen Gleichungssystems in den Koordinaten von , das du aus den drei Gleichungen erhältst. Jede vom Nullvektor verschiedene Lösung ist geeignet. Alternativ kannst du auch das Kreuzprodukt berechnen. Wie das geht, findest du hier.

Zur Lösung kannst du auch anders vorgehen. Zunächst ergänzt du durch einen Vektor zu einer Basis des . Darauf wendest du das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren an und bekommst eine Orthonormalbasis . Die ersten drei Vektoren erzeugen . Dann stellst du als Linearkombination in dieser Basis dar:



Und für die orthogonale Projektion von auf mußt du nur den -Anteil weglassen:



Du kannst ja einmal beide Verfahren durchführen.

Zur Kontrolle: Ich habe erhalten.
 
 
martha.1981 Auf diesen Beitrag antworten »

@leopold sehr schön erklärt Freude
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