Untervektorraum

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Untervektorraum
Meine Frage:
Hallo =)

Eine Frage zu folgender Aufgabe:

Ist die folgende Menge ein Untervektorraum? Bestimmen sie ggf. eine Basis
U:={x element R³|x1²=x3²}



Meine Ideen:

Ich habe die Abgeschlossenheit bzgl. + folgendermaßen geprüft:
Seien x,y element U mit x1²=x3² und y1²=y3² gegeben.
x1²+y1²=x3²+y3²
da x1²=x3² und y1²=y3² ist die Bedingung erfüllt.


ist dieser Lösungsweg so richtig??

Als basis habe ich B={(1,0,1); (0,1,0)}

EIn anderer Lösungsweg; den ich gefunden habe wäre folgender:

u E U => u1² = u3²
v E U => v1² = v3²

u+v = (u1 ; u2 ; u3) + (v1 ; v2 ; v3) = ( u1+v1 ; u2+v2 ; u3+v3)
...
(u1 + v1)² = u1² + 2u1v1 + v1²
(u3 + v3)² = u3² + 2u3v3 + v3²

wir wissen, dass u1²= u3² und v1² = v3² ist
wiederrum ist 2u1v1 un= 2u3v3
daher ist (u1 + v1)² un= (u3 + v3)² und die bedingung nicht erfüllt.

Allerdings verstehe ich nicht warum da die binomische Formel benutzt wird??
verwirrt

ich bitte driiingend um hilfee!! =)
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann deinen Weg nicht ganz nachvollziehen, was genau willst du da machen?

Du hast die Menge gegeben und sollst überprüfen, ob diese ein Unterraum des ist. Das Quadrat des ersten Eintrags und das Quadrat des dritten Eintrags stimmen also überein.

Wenn du dir jetzt zwei Elemente nimmst, wie sieht dann die Summe aus? Ist die Summe auch wieder in enthalten?
TikTak Auf diesen Beitrag antworten »

wäre die summe dann:

u²+v²=vec(u1²,u2²,u3²) + vec(v1²,v2²,v3²) ?

und dann muss doch überprüft werden:

u1²+v1²=u3²+v3²??
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist nicht die Summe, du solltest die beiden Vektoren auch fertig addieren.
TikTak Auf diesen Beitrag antworten »

also

vec u + vec v=(u1,u2,u3)+(v1,v2,v3)=(u1+v1,u2+v2,u3+v3)

nun soll ja x1²=x3²

bedeutet das (u1+v1)²=(u3+v3)² ??
oder u1²+v1²=u3²+v3² ??
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ersteres natürlich, die Angabe bezieht sich schließlich auf den ersten und dritten Eintrag des Vektors.
 
 
TikTak Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, das hat mir schonmal sehr geholfen!!
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