Skalarprodukt

09.01.2012, 14:35

Haselnuss

Skalarprodukt

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} V=\left\{ \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_2 & a_3 \\ \end{pmatrix}|a_1 a_2 a_3 \in R \right\} \end{eqnarray*}$ der Vektorraum der reellen symmetrischen 2x2-Matrizen

Zeigen Sie, dass die Abbildung
$\begin{eqnarray*} <.,.>:VxV -> R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_2 & a_3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} b_1 & b_2 \\ b_2 & b_3 \end{pmatrix} > = a_1b_1+2a_1b_2+2a_2b_1+a_3b_3 \end{eqnarray*}$ kein Skalarprodukt von V ist.

Meine Ideen:
Wie soll man das zeigen? Versteh ich nicht.Ich steh völlig aufm Schlauch. Bitte um zielführende Hinweise.

09.01.2012, 14:37

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, eine Abbildung ist ein Skalarprodukt, wenn sie die Eigenschaften die ein Skalarprodukt erfüllen muss auch erfüllt. Ergo, muss, damit es sich um kein Skalarprodukt eine Bedingung verletzt sein. Schau Dir also die Eigenschaften eines Skalarproduktes an und überlege, welche verletzt ist.

09.01.2012, 14:53

Haselnuss

Auf diesen Beitrag antworten »

Eigenschaften des Skalarproduktes sind doch die folgenden wenn ich mich recht entsinne?!
$\begin{eqnarray*} <\alpha \vec{u} ,\vec{v} >=\alpha <\vec{u} ,\vec{v}> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} < \vec{u} ,\vec{v} >= <\vec{v} ,\vec{u}> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} < \vec{v} ,\vec{v} >\geq 0 \end{eqnarray*}$

ich hab dummerweise in der Vorlesung gefehlt und weiß nicht wich ich mein Wissen über die Eigenschaften nun anwende -.-* Nen Beispiel würde mir sicher helfen.

09.01.2012, 15:00

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dass sind einige Eigenschaften, aber nicht alle. Zur Gesamtheit :

Skalarprodukt

Zitat:

weiß nicht wich ich mein Wissen über die Eigenschaften nun anwende

Du suchst dir 2 Matrizen aus und setzt diese in die entsprechende Formel der Eigenschaft die Du Untersuchst ein, und rechnest aus. Und wenn dann keine wahre Aussage heraus kommt , hast Du gezeigt dass es sich nicht um ein Skalarprodukt handelt.

09.01.2012, 15:23

Haselnuss

Auf diesen Beitrag antworten »

ich versteh nich wie ich an der Abbildung: $\begin{eqnarray*} a_1b_1+2a_1b_1+2a_2b_1+a_3b_3 \end{eqnarray*}$ die Eigenschaften prüfen soll. Was ist da mein $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ und was mein $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ ?

09.01.2012, 15:27

Bernhard1

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Haselnuss,

ich zeige Dir mal, wie man die erste Bedingung testet:
$\begin{eqnarray*} <\alpha \vec{u} ,\vec{v} >= <\begin{pmatrix} \alpha u_1 & \alpha u_2 \\ \alpha u_2 & \alpha u_3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} v_1 & v_2 \\ v_2 & v_3 \end{pmatrix} > = \alpha u_1v_1+2\alpha u_1v_2+2\alpha u_2v_1+\alpha u_3v_3 \end{eqnarray*}$
Jetzt kann man bei dem Ergebnis $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ausklammern und bekommt:
$\begin{eqnarray*} <\alpha \vec{u} ,\vec{v} >= \alpha (u_1v_1+2u_1v_2+2u_2v_1+u_3v_3) = \alpha <\vec{u} ,\vec{v}> \end{eqnarray*}$

Genau so zeigt man auch, dass der zweite Slot linear ist. Es gilt also $\begin{eqnarray*} <\vec{u} ,\alpha \vec{v} >=\alpha <\vec{u} ,\vec{v}> \end{eqnarray*}$ , wie man unmittelbar nachrechnen kann.

Etwas vielversprechender ist die dritte Bedinung. Schau dir die mal möglichst genau an und überlege, ob die wirklich immer erfüllt ist.
Gruß

09.01.2012, 15:45

Haselnuss

Auf diesen Beitrag antworten »

So für die dritte Bedingung hab ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} <\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \\ a_2 & a_3 & \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \\ a_2 & a_3 & \end{pmatrix} >=a_1²+4a_1a_2+a_3² \end{eqnarray*}$ an welcher Stelle ist jetzt der Widerspruch bzw. wie zeigt man das ? Ich vermute das das nicht unbedingt größer gleich 0 ist sonder auch kleiner sein kann, irre ich mich?

09.01.2012, 16:00

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Sei kreativ. Schau Dir bestimme Werte für a1,a2,a3 an und Du hast es.

09.01.2012, 18:34

Haselnuss

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok hab es jetzt verstanden...Vielen Dank für deine Hilfe Freude

Neue Frage »

Antworten »

Skalarprodukt

Verwandte Themen