Basis und und Dimensionen von Untervektorräumen?

09.01.2012, 17:52

Master1991

Basis und und Dimensionen von Untervektorräumen?

Heyho,

frisch aus den Uniferien zurück hab ich auch direkt wieder ein kleines Problem:

Aufgabe:
"Welche Dimension - in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ - hat der von

$\begin{eqnarray*} v_1 :=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ t+2 \end{pmatrix} , v_2 := \begin{pmatrix} -1 \\ t+1 \\ t \end{pmatrix} , v_3 := \begin{pmatrix} 0 \\ t \\ 1 \end{pmatrix} \in \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$

erzeugte Untervektorraum $\begin{eqnarray*} lin(v_1,v_2,v_3) \end{eqnarray*}$ ?

b) Geben Sie inkl. Begründung eine Basis des Matrizenraums $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{m x n} \end{eqnarray*}$ an und bestimmen Sie so dessen Dimension."

So also zu a hab ich erstmal Überhaupt keine Ahnung, wie ich da rangehen soll, vorallem weil ich irgendwie nicht mitbekommen habe was genau die Dimension eines Vektorraums ist. Hoffe auf Ansatz smile

zu b) Also Theoretisch ist ja $\begin{eqnarray*} e_1=(1,0,....,0),...,e_n=(0,...,0,1) \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$

Also muss doch die Basis von einer Belibigen Matrix die einheitsmatrix der größe m x n sein oder?

09.01.2012, 23:44

frank09

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RE: Basis und und Dimensionen von Untervektorräumen?
Die Dimension ist die maximale Zahl an linear unabhängigen Vektoren, die den Vektorraum erzeugen. Je nachdem, ob $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,v_3 \end{eqnarray*}$ (abhängig von t) kollinear, komplanar oder lin. unabhängig sind, ändert sich die Dimension).

Zitat:

Also muss doch die Basis von einer Belibigen Matrix die einheitsmatrix der größe m x n sein oder?

Nein. Die Einheitsmatrix hat fast überall Nullen. Damit kannst du durch Linearkombinationen nirgendwo außerhalb der Diagonalen eine Eins hinbekommen. Es muss ja möglich sein, jede Belegung einer Matrix darzustellen. Wenn du für einen Vektor aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ schon n Basis-Vektoren brauchst, werden es für m x n Matrizen doch sicher noch mehr sein.

10.01.2012, 16:53

Master1991

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Okay zu a:

Wenn ich das richtig verstanden habe so such ich einfach nur die Werte t für die $\begin{eqnarray*} lin(v_1,v_2,v_3) \end{eqnarray*}$ kollinear ist.

Wo ich dann $\begin{eqnarray*} t=1 und t=- 1,5 \end{eqnarray*}$ rausbekomme.

Das heißt also für diese Werte ist die Dimension 2? Und für die Werte ungleich derer ist die Dimension 3?

richtig?

zu b:

Hmm okay....dann würd mir eig nur noch, das einfallen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 1 & 0 & ... & 0 \end{pmatrix},....,\begin{pmatrix} 0 & ... & 0 & 1 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & ... & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und das halt in der größe m x n, aber selbst wenn das richtig ist: Reicht als Begründung das durch Linearkombination jede Matrix dargestellt werden kann?

10.01.2012, 17:59

Mr_Bean

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Oh, das ist ist mal eine spannende Aufgabe!! Lehrer

Der Lösungsweg würde mich auch interessieren, wenn man also nicht über die Basisvektoren an die Sache rangehen kann - wie ist diese Nuss den ansonsten zu knacken?

10.01.2012, 23:01

frank09

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RE: Basis und und Dimensionen von Untervektorräumen?

Zitat:

Das heißt also für diese Werte ist die Dimension 2? Und für die Werte ungleich derer ist die Dimension 3?
richtig?

Nein. Kollinearität heißt, alle (oder vielleicht nur zwei) haben die gleiche Richtung.
Ein Vektor ist also ein Vielfaches (Faktor Null ausgeschlossen) des anderen. $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ kann kein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ sein, denn mit was soll man die 1.Koord. 1/-1 multiplizeren um auf 0 zu kommen.
$\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ kann auch kein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ sein, weil laut 1. Koordinate gelten muss: $\begin{eqnarray*} v_2=-v_3 \end{eqnarray*}$ , somit ergibt sich für die zweite koordinate $\begin{eqnarray*} 2=-(t+1) \end{eqnarray*}$ , also t=-3. In der 3. stünde dann $\begin{eqnarray*} -3+2=-3 \end{eqnarray*}$ Widerspruch.

Um herauszufinden ob die 3 Vektoren in einer Ebene liegen können, sucht man geeignete a,b,t um folgende Gleichung zu lösen:
$\begin{eqnarray*} a\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ t+2 \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} -1 \\ t+1 \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ t \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ist das nicht möglich, wäre die Dimension 3.

Was deine Basis angeht liegst du schonmal richtig, dass sie ebenfalls aus mxn-Marizen besteht. Wenn aber nur eine Basis-Matrix die erste Spalte komplett mit Einsen besetzt hat, wie willst du eine Matrix erzeugen, bei der oben links eine 1 und darunter eine 2 stehen soll?

10.01.2012, 23:18

Master1991

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Ok ich greif das mal auf:

das mit der Kollinearität versteh ich, mir ist ebenfalls klar das die Vektoren einzelnd gesehen niemals kollinear sein können, aber wie du in deiner Gleichung ja auch schreibst kann sehrwohl die Linearkombination kollinear sein.

Wenn ich nun deine Gleichung nach a und b auflöse bekomme ich: a=-1 woraus wiederrum für t=-1,5 folgt oder a=0,25 woraus für t=1 folgt...

womit ich dann wieder bei meinem letzten Post wäre.

Für t={-1,5;1} ist Dim=2 andernfalls 3.

Leider habe ich immernoch nicht begriffen wie das mit der Basis der Matrix funktioniert unglücklich

EDIT// Ich darf doch statt der 1nen auch belibige andere Zahlen an die Stelle schreiben, oder die ganze Matrix mit einem Faktor multiplizieren sodass ich wenn ich die Matrix mit einer anderen Matrix multipliziere an der gewünschten Stelle die Zahl meiner Wahl stehen habe, nicht?

11.01.2012, 01:11

frank09

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Ich komme auf dasselbe Ergebnis. Ich war davon ausgegangen, dass du nur auf Kollinearität untersucht hast. In diesem Fall wären sie linear abhängig bzw. komplanar.

Wenn ich deine Basis-Matrizen richtig verstanden habe, hat deine erste M. die komplette 1.Spalte mit Einsen belegt, alle anderen haben dort Nullen
Wenn du eine 1 oben links erzeugen möchtest, nimmt du einmal deine 1.Basismatrix.
Wenn darunter eine 2 möchtest, müsstest du die 1.B-Matrix mit 2 malnehmen. Dadurch wird aber aus der eins darüber auch eine 2. Du könntest nur Matrizen erzeugen, die pro Spalte mit einer identischen Zahl belegt sind.

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