Konvergenz von 1/k2

10.01.2012, 16:33

jenny111

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Konvergenz von 1/k2

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$

Durch betrachtung der Folge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^{2}} \end{eqnarray*}$ bekommt man mit der Quotientenregel das es nach "1" Konvergiert, die Reihe ist also divergent.

Es gibt aber mehrere aufgaben wo gefragt wird um die Konvergentz von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ zu zeigen oder beweisen...

Meine Ideen:
Was mache ich Falsch????

10.01.2012, 16:37

Iorek

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RE: Konvergenz von 1/k2

Zitat:

Original von jenny111
Durch betrachtung der Folge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^{2}} \end{eqnarray*}$ bekommt man mit der Quotientenregel das es nach "1" Konvergiert, die Reihe ist also divergent.

Das ist dein Fehler. Wenn dir das Quotientenkriterium "1" als Ergebnis liefert, kannst du keine Aussage über das Konvergenzverhalten treffen.

10.01.2012, 16:54

jenny111

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RE: Konvergenz von 1/k2
Wenn die Reihe S konvergiert, dann konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ der Summanden für $\begin{eqnarray*} n\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ gegen 0.
Formuliert: Ist $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge, so divergiert die entsprechende Reihe.
In diesem fall ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^{2}} \end{eqnarray*}$ keine nullfolge also ist die Reihe divergent.

Ausserdem wenn man mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ das majoranten Kriterium verwendet und als referenz Folge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ nimmt

dann muss $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ Divergent sein wie die Harmonische Folge $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

10.01.2012, 17:00

Iorek

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In deinem Post stimmt fast gar nichts. unglücklich

unglücklich

Damit eine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ überhaupt konvergieren kann, muss $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_n =0 \end{eqnarray*}$ gelten, ja. Dieses Kriterium funktioniert aber nicht andersrum.

Außerdem: natürlich ist $\begin{eqnarray*} \left(\frac 1{k^2}\right)_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge, die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1{k^2} \end{eqnarray*}$ ist auch konvergent mit Reihenwert $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1{k^2}=\frac {\pi^2}6 \end{eqnarray*}$ . Und das Majorantenkriterium verlangt eine konvergente Vergleichsreihe, die divergente harmonische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1k \end{eqnarray*}$ bringt dir also überhaupt nichts.

[WS] Reihen

10.01.2012, 17:11

jenny111

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aaah super ich hab fast alles verstanden smile

smile

nur eine kleine frage:

Ist $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac 1k =0 \end{eqnarray*}$ dann nicht wahr?

Warum ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1k \end{eqnarray*}$ keine konvergente Reihe?

10.01.2012, 17:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von jenny111
Ist $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac 1k =0 \end{eqnarray*}$ dann nicht wahr?

Du stellst eine Menge ziemlich verfehlter Suggestivfragen, wie mit diesem eingestreuten "dann". Liegt vielleicht auch daran, dass Deutsch nicht deine Muttersprache ist? Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac 1k =0 \end{eqnarray*}$ ist natürlich doch wahr, aber wie Iorek schon sagte

Zitat:

Original von Iorek
Damit eine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ überhaupt konvergieren kann, muss $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_n =0 \end{eqnarray*}$ gelten, ja. Dieses Kriterium funktioniert aber nicht andersrum.

Hier eben auch nicht.

Zitat:

Original von jenny111
Warum ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1k \end{eqnarray*}$ keine konvergente Reihe?

Weil deren Partialsummen divergieren, was man z.B. an dem leicht nachweisbaren

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2^n} \frac{1}{k} \geq 1 + \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$

erkennt.

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10.01.2012, 17:32

jenny111

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Super Danke!!!! smile

smile

und ja deutsch ist nicht meine Muttersprache Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.01.2012, 08:25

klarsoweit

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Zitat:

Original von jenny111
Ist $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac 1k =0 \end{eqnarray*}$ dann nicht wahr?

Außerdem ist $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac 1 k = \frac 1 k \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.01.2012, 17:46

KönigsHaki

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Zitat:

Original von Iorek
In deinem Post stimmt fast gar nichts. unglücklich

unglücklich

Damit eine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ überhaupt konvergieren kann, muss $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_n =0 \end{eqnarray*}$ gelten, ja. Dieses Kriterium funktioniert aber nicht andersrum.

Außerdem: natürlich ist $\begin{eqnarray*} \left(\frac 1{k^2}\right)_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge, die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1{k^2} \end{eqnarray*}$ ist auch konvergent mit Reihenwert $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1{k^2}=\frac {\pi^2}6 \end{eqnarray*}$ . Und das Majorantenkriterium verlangt eine konvergente Vergleichsreihe, die divergente harmonische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1k \end{eqnarray*}$ bringt dir also überhaupt nichts.

[WS] Reihen

kannst du mir erklären wie du auf den Reihenwert $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1{k^2}=\frac {\pi^2}6 \end{eqnarray*}$
kommst?

21.01.2012, 17:54

Iorek

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Das ist nicht so einfach zu machen, am besten schaust du mal hier vorbei.

21.01.2012, 18:00

KönigsHaki

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also ist es eine Zumutung solch eine Aufgabe als Übungsaufgabe zu bringen, sehe ich das richtig?

21.01.2012, 18:03

Iorek

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Das kommt ganz darauf an, was einem zur Verfügung steht. Mit entsprechender Vorarbeit in Form von kleineren Teilaufgaben, die zusammengesetzt dann auf diese Aussage führen, ist das durchaus machbar.

21.01.2012, 18:07

KönigsHaki

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mir steht folgendes zur verfügung:

Cauchykrit. Vergleichskrit. Quotientenkrit. und Wurzelkrit.

keines hat mich weiter gebracht.

Wobei ich nicht den Grenzwert bestimmen soll sondern nur ob es konvergiert oder divergiert.

wie gehe ich dann vor?

21.01.2012, 18:12

Iorek

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Und das ist eine absolut andere Aufgabe, die zum absoluten Standardprogramm gehört und weit weg von einer "Zumutung als Übungsaufgabe" ist. unglücklich

unglücklich

Hier bietet sich entweder das Cauchysche Verdichtungskriterium an, oder das Majorantenkriterium, welches man etwa auf $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 2{k^2+k} \end{eqnarray*}$ anwenden kann (natürlich sollte man die Konvergenz dieser Reihe per Partialbruchzerlegung vorher zeigen).

21.01.2012, 18:22

KönigsHaki

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und wenn dieses Cauchysche Verdichtungskriterium und Majorantenkriterium nicht im Skript vorkommen?

21.01.2012, 18:23

Iorek

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Zitat:

Original von KönigsHaki
Vergleichskrit.

Das Majorantenkriterium dürfte dem Vergleichskriterium entsprechen.

21.01.2012, 18:38

KönigsHaki

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dann löst sich die verwirrung allmählich

aber wie sieht denn eine größere reihe von 1/k² aus?

21.01.2012, 18:41

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
oder das Majorantenkriterium, welches man etwa auf $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 2{k^2+k} \end{eqnarray*}$ anwenden kann (natürlich sollte man die Konvergenz dieser Reihe per Partialbruchzerlegung vorher zeigen).

21.01.2012, 20:38

KönigsHaki

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Zitat:

Original von Iorek

Zitat:

Original von Iorek
oder das Majorantenkriterium, welches man etwa auf $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 2{k^2+k} \end{eqnarray*}$ anwenden kann (natürlich sollte man die Konvergenz dieser Reihe per Partialbruchzerlegung vorher zeigen).

wäre $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1{k^2+k} \end{eqnarray*}$ nicht auch schon größer?
Oder müssen beide, Zähler und Nenner, größer sein?

21.01.2012, 20:43

Iorek

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Nein, diese (auch konvergente) Reihe würde nicht passen.

21.01.2012, 20:49

KönigsHaki

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stimmt ich teile ja jetzt durch mehr als vorher, also ist sie ja kleiner?

21.01.2012, 20:53

Iorek

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Ja.

21.01.2012, 21:00

in_line

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Zitat:

Original von Iorek

Zitat:

Original von KönigsHaki
Vergleichskrit.

Das Majorantenkriterium dürfte dem Vergleichskriterium entsprechen.

In meinem Buch ist da ein Unterschied: Beim Vergleichskrit wählt man eine Folge b_n, wobei die Reihe über diese Folge konvergiert. b_n muss außerdem für n >= n_0 stets dasselbe Vorzeichen haben. Weiters muss lim a_n / b_n = c sein für c != 0 und n-> unendlich.

Trifft dies alles zu, dann konvergiert auch die Reihe über a_n.

Analog bei Divergenz: Wähle Reihe über b_n, die divergent ist und b_n hat für n >= n0 stets dasselbe Vorzeichen, lim n->infty a_n / b_n muss c != 0 ergeben und dann divergiert die Reihe über a_n.

lg

21.01.2012, 22:23

KönigsHaki

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die Partialbruchzerlegung hab ich nun hinbekommen und jetzt?

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{k}-\frac{2}{k+1} \end{eqnarray*}$

Wende ich hierauf den Limes an?

21.01.2012, 22:28

Iorek

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Du solltest dir überlegen, was du mit der Partialbruchzerlegung gewonnen hast.

Für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n\frac 2{k(k+1)}=\sum\limits_{k=1}^n \left(\frac 2{k}-\frac 2{k+1}\right) \end{eqnarray*}$ , jetzt sollte der Begriff der Teleskopsumme ins Auge springen.

21.01.2012, 22:32

KönigsHaki

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ja das tat es auch bereits, aber warum gehen deine summen nur bis n?

ich habe ja eine unendliche reihe 1/k²
also muss auch 2/k²+k eine unendliche sein oder nicht?

21.01.2012, 22:39

KönigsHaki

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ok hat sich erledigt,

wenn die partialsummenfolge konvergiert so konvergiert auch die reihe

€dit:

also aus der def der Teleskopsumme folgt dann:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{2}{k} - \frac{2}{k+1} = 2 - \frac{2}{k+1} \end{eqnarray*}$

21.01.2012, 22:40

Iorek

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Es ist hier besser, zuerst die Partialsummen der Reihe zu betrachten. Daher laufen die erst einmal nur bis n. Mit der Teleskopsumme ist es nun möglich, einen Term für die Summe direkt anzugeben und dann den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ zu bilden.

21.01.2012, 23:05

KönigsHaki

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dann hab ichs :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{2}{k} - \frac{2}{k+1} \end{eqnarray*}$

aus der Def. der Teleskopsummen folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{2}{k} - \frac{2}{k+1} = 2-\frac{2}{k+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty }( 2 - \frac{2}{k+1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{k \to \infty } 2 - \lim_{k \to \infty }\frac{2}{k+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2-0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2 \end{eqnarray*}$

daraus folgt dann dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2}{k} - \frac{2}{k+1} \end{eqnarray*}$ konvergiert

und daraus folgt wiederrum, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k²} \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert

korrekt?

21.01.2012, 23:14

Iorek

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Soweit korrekt, ja.

Ein Schritt fehlt noch, damit du die Konvergen von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1{k^2} \end{eqnarray*}$ folgern kannst, müssen noch die Voraussetzungen des Majorantenkriteriums erfüllt sein, sprich: gibt es ein $\begin{eqnarray*} M\in\mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac 1{k^2}\leq M\cdot \frac 2{k^2+k} \end{eqnarray*}$ ?

21.01.2012, 23:17

KönigsHaki

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ja M = 1 wäre ja solch eines oder?

21.01.2012, 23:17

Iorek

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Wenn du das noch zeigen würdest, wäre das fertig. smile

smile

22.01.2012, 12:06

KönigsHaki

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ich hab mir die Def. im Wikipedia nochmal angeschaut aber da finde ich keine solche Voraussetzung?

Majorantenkriterium

Wie wäre denn der Beweis zu führen?
Etwa so?

$\begin{eqnarray*} Sei M = 1. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k²} \leq 1\cdot \frac{2}{k²+k} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k²} \leq \frac{2}{k²+k} \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} \frac{2}{k²+k} \end{eqnarray*}$ gewählt wurde als größer als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k²} \end{eqnarray*}$ ist die Voraussetzung erfüllt

22.01.2012, 12:18

Iorek

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Zitat:

Original von KönigsHaki
Da $\begin{eqnarray*} \frac{2}{k²+k} \end{eqnarray*}$ gewählt wurde als größer als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k²} \end{eqnarray*}$ ist die Voraussetzung erfüllt

Da ist das Problem. Es wurde nicht "größer" gewählt, ich habe behauptet, dass $\begin{eqnarray*} \frac 1{k^2}\leq \frac 2{k^2+k} \end{eqnarray*}$ gilt. Das muss noch bewiesen werden. (Ansonsten könnte man ähnlich zeigen: Es sei $\begin{eqnarray*} 1>3 \end{eqnarray*}$ gewählt. Da $\begin{eqnarray*} 3>2 \end{eqnarray*}$ folgt nun $\begin{eqnarray*} 1>2 \end{eqnarray*}$ .)

22.01.2012, 12:27

KönigsHaki

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ok ich verstehe smile

smile

dann kann ich es ja mit Induktion beweisen?

22.01.2012, 12:34

Iorek

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Induktion ist ein bischen zuviel und nicht nötig.

$\begin{eqnarray*} \frac 1{k^2}\leq \frac 2{k^2+k} \Leftrightarrow k^2\geq \frac {k^2+k}2 \Leftrightarrow 2k^2 \geq k^2+k \end{eqnarray*}$

22.01.2012, 16:25

KönigsHaki

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beim ersten schritt musst du mir mal erklären warum sich die ungleichung umdreht, ich dachte das geschieht nur bei mult. bzw. div. mit negativen Zahlen?

22.01.2012, 16:39

Iorek

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Man könnte es ja einfach mal nachrechnen. Idee!

Idee!

$\begin{eqnarray*} \frac 1{k^2}\leq \frac 2{k^2+k}~|~\cdot k^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \leq \frac {2k^2}{k^2+k}~|~\cdot (k^2+k) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k^2+k\leq 2k^2 \end{eqnarray*}$

22.01.2012, 16:40

KönigsHaki

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wollte ich gerade schreiben :>

habe es nachgerechnet und bin aufs gleich gekommen, vielen Dank!

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