Majorantenkriterium

13.01.2007, 23:16

MrMilk

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Majorantenkriterium

Hallo,

bei der Forensuche konnte ich leider nicht ganz schlau werden, da dort oft eine Majorante agegeben wurde, aber aus den Begründungen wurde ich nicht immer ganz schlau.

Deswegen würde ich euch gerne noch einmal um Hilfe bitten.

In den Büchern finde ich immer das das Cauchy-Kriterium, wo steht, das dass Majorantenkriterium dazu die Grundlage bietet. Also solle ich als erstes die Majorante verstehen.

Ich denke am besten kann diese an einem Beispiel verdeutlicht werden, sagen wir:
$\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=0}^n~\frac{1}{(k^4 + 5)^2} \end{eqnarray*}$

Mir ist nun nicht ganz klar wie ich am besten nach eine Majorante suche. Instinktiv würde ich beginnen eine Folge mir zu suchen, die gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert und dazu dann überprüfen wenn dieses als Reihe gewerttet wird, ob diese dann auch konvergent ist.

Allerdings, kann ich da einfach als Majorante $\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=0}^n~\frac{1}{n^8} \end{eqnarray*}$ nehmen?

Wie gesagt bin mir noch gar nicht sicher auf dem Gebiet der Majoranten.

Bin über jede Antwort dankbar.

Viele Grüße
-- MrMilk

14.01.2007, 00:12

therisen

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Wegen $\begin{eqnarray*} k^4+5>k^4 \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} (k^4+5)^2>k^8 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(k^4+5)^2}<\frac{1}{k^8} \end{eqnarray*}$ .

Eine Majorante ist daher $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^8} \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

14.01.2007, 10:25

MrMilk

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Wenn ich dieses gezeigt habe, wie kann ich dann damit weiter machen?
Nutze ich nun das Cauchy-Kriterium?
Oder noch eine Minorante suche?
Viele Grüße
-- MrMilk

14.01.2007, 10:32

therisen

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Wenn du weißt/gezeigt hast, dass die Majorante konvergiert, bist du bereits fertig.

14.01.2007, 10:44

MrMilk

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Ah, danke

smile

Wenn ich dazu noch den Grenzwert ausrechnen möchte, dann wird das in diesem Fall mit der geometrischen Reihe richtig?

Und wenn ich weiter überlege, dann solle doch die Majorante für Reihen sein, wo nur positive Werte addiert werden und wenn auch negative addierte werden, dann brauche ich auch eine Minorante, korrekt?

Viele Grüße
-- MrMilk

14.01.2007, 11:04

therisen

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Zitat:

Original von MrMilk
Ah, danke smile

smile

Wenn ich dazu noch den Grenzwert ausrechnen möchte, dann wird das in diesem Fall mit der geometrischen Reihe richtig?

Nein, das ist keine geometrische Reihe. Das ist die Riemannsche Zetafunktion $\begin{eqnarray*} \zeta(s) \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} s=8 \end{eqnarray*}$ . Es gilt $\begin{eqnarray*} \zeta(8) = \frac{\pi^8}{9450} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von MrMilk
Und wenn ich weiter überlege, dann solle doch die Majorante für Reihen sein, wo nur positive Werte addiert werden und wenn auch negative addierte werden, dann brauche ich auch eine Minorante, korrekt?

Das ist Quatsch. Eine Minorante brauchst du höchstens dann, wenn du Divergenz zeigen willst. Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Majorantenkriterium

Gruß, therisen

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14.01.2007, 11:19

MrMilk

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Aber wann brauche ich eine Majorante?

Entschuldigung, ich meinte nicht harmonische Reihe da im Nenner eine Eins steht. Oder ist wieder falsch?

Viele Grüße
-- MrMilk

14.01.2007, 11:48

therisen

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Eine Majorante kannst (nicht musst!) du verwenden, wenn du die Konvergenz einer Reihe zeigen willst.

Im Nenner eine Eins? unglücklich

unglücklich

14.01.2007, 12:17

MrMilk

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Ich glaube so langsam geht mir ein Licht auf. Hammer

Hammer

Wenn ich nun einmal die Möglichkeiten aufzähle um konvergenz und divergenz:

Majorante für Konvergenz
Minorante für Differgenz
Qutienten hängt ab vom Ergebnis. Limes > 1 divergent, < 1 konvergent, =1 unklar
Cauchy-Kriterium für Konvergenz

Stimmt das so?

Hinzu kenne ich noch das Wurzel und das Leibnitzkriterum, das erarbeite ich aber noch grade.

Viele Grüße
-- MrMilk

14.01.2007, 12:36

therisen

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Ja, das sind einige Möglichkeiten.

Gruß, therisen

PS: Es heißt Divergenz, nicht Differgenz Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.01.2007, 13:14

MrMilk

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Hey therisen,

gibt es ein Rezept, was am besten bei alternierenden Reihen angwendet wird?

Beispiel: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{(-1)^k}{k^2} \end{eqnarray*}$

Also mein Prof. hat auch Divergenz so geschrieben, und bei google.de wird auch bei Differgenz als erstes der Hinweis auf Divergenz gegeben, ist aber auch nicht so wichtig.

Viele Grüße
-- MrMilk

14.01.2007, 13:30

therisen

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Ja, das Leibniz-Kriterium.

14.01.2007, 13:49

MrMilk

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Würde dann der Beweis per Induktion geführt?
Sprich $\begin{eqnarray*} a_n > a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
MrMilk

14.01.2007, 13:53

therisen

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Nein, das ist hier nicht nötig.

14.01.2007, 14:02

MrMilk

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Meinst du weil es so offensichtlich ist?

Viele Grüße
MrMilk

14.01.2007, 14:16

therisen

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Erstens das und zweitens kann man es einfach "ausrechnen".

14.01.2007, 14:18

MrMilk

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Was verstehst du unter ausrechnen?
Kannst du mir das kurz genauer erkläutern?

Viele Grüße
-- MrMilk

14.01.2007, 14:20

therisen

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Du willst ja offensichtlich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2} > \frac{1}{(k+1)^2} \end{eqnarray*}$ gilt. Naja, das kann man elementar umformen: $\begin{eqnarray*} (k+1)^2>k^2 \Leftrightarrow k^2+2k+1>k^2 \Leftrightarrow 2k+1>0 \end{eqnarray*}$ , was offensichtlich für $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ wahr ist.

14.01.2007, 14:35

MrMilk

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Ich stimmte dir fast ganz zu, aber eine kleine Frage bleibt dennoch offen.

Wird bei dem Leibnitzkriterium immer der Betrag genommen?
Du du immer $\begin{eqnarray*} \frac{1}{...} \end{eqnarray*}$ dort stehen hast
Viele Grüße
-- MrMilk

14.01.2007, 14:49

therisen

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$\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ muss eine monotone fallende, reelle Nullfolge sein.

14.01.2007, 16:26

MrMilk

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Hallo therisen,

ok, wenn ich das nun zusammenfasse und mir eine ähnliche Folge anschaue, sollte dieses doch schlüssig sein:

Betrachte Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{(-1)^{k-1}}{k^2} \end{eqnarray*}$

So als erstes schaue ich mir dazu die Folge an:

$\begin{eqnarray*} f_n = \frac{(-1)^{k-1}}{k^2} = \frac{(-1)^{k} * (-1)}{k^2} \end{eqnarray*}$ .

Behauptung: Der Grenzwert ist $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$
Beweis:
$\begin{eqnarray*} <br /> |f_n - f| < \epsilon &\Rightarrow& |\frac{(-1)^{n-1}}{n^2} - 0| < \epsilon \\<br /> &\Rightarrow& |\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}| < \epsilon \\<br /> &\Rightarrow& |\frac{(-1) * (-1)^n}{n^2}| < \epsilon \\<br /> &\Rightarrow& \frac{1}{n^2} < \epsilon \\<br /> &\Rightarrow& \frac{1}{\sqrt{\epsilon}} < n_{\epsilon} <br /> \end{eqnarray*}$

So, ab einem bestimmten $\begin{eqnarray*} n_\epsilon \end{eqnarray*}$ unendlich viele Folgeglieder in der Epsilonumgebung liegen, lautet der Grenzwert $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Behauptung stimmt.

Allerdings kann ich nicht sagen, dass die Folge streng monton fallend ist, darf ich nun noch das Leibnitzkriterium anwendne?

Viele Grüße
--MrMilk

14.01.2007, 16:36

therisen

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Zitat:

Original von MrMilk
Betrachte Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{(-1)^{k-1}}{k^2} \end{eqnarray*}$

So als erstes schaue ich mir dazu die Folge an:

$\begin{eqnarray*} f_n = \frac{(-1)^{k-1}}{k^2} = \frac{(-1)^{k} * (-1)}{k^2} \end{eqnarray*}$ .

Nein, das ist nur eine endliche Summe, keine Reihe! Außerdem musst du genau lesen: Beim Leibniz-Kriterium betrachtest du nicht das gesamte Glied sondern nur den Teil OHNE das (-1)^k...

Gruß, therisen

14.01.2007, 16:41

MrMilk

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So meinte ich es:
Betrachte Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{(-1)^{k-1}}{k^2} \end{eqnarray*}$

14.01.2007, 16:55

therisen

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Trotzdem musst du prüfen, ob $\begin{eqnarray*} a_k := \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende, reelle Nullfolge ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.01.2007, 17:02

MrMilk

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Das darf ich doch wieder per Induktion machen, oder?

Viele Grüße
--Mr Milk

14.01.2007, 17:15

therisen

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Ist doch völlig unnötig, siehe mein Beitrag oben.

14.01.2007, 17:32

MrMilk

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Hey theriesen,

mache mir es nun mal gerne umständlich, bitte nicht böse nehmen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Auf jeden Fall auf Grund dieser beiden Tatsachen, kann ich sagen, dass das Leibnitzkriterium gültig ist und die Reihe konvergiert.

Viele Grüße
-- MrMilk

14.01.2007, 17:36

therisen

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Ja, man hätte es sich aber einfacher machen können Augenzwinkern

Augenzwinkern

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